2018年中国矿业大学(徐州)理学院828高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,
记
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】由已知，有
于是
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
则（ ）.
2． 设A 、B 为满足
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
并记A 各列依次为
从而
线
由于不妨
可推得AB 的第一列知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
3． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2设二次型矩阵A , 则
是（ ）二次型.
是不定二次型，故选B.
由于因此否定A , C, A中有二阶主子式
从而否定D , 故选B.
4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A. B.
C.
不一定是线性变换，比如不是惟一的.
5． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】
阶方阵，且秩
秩
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
秩A , 则线性方程组（ ）.
. 则
也不是线性变换，比如给
,
【答案】C 【解析】而
二、分析计算题
6． 已知4×4矩阵
（1）求A 的列向量组的一个极大线性无关组成A 的秩r ; （2）求一个且满足
在A 中有一个子式
令（2）令
则
7． 设性无关, 则交
的解空间的维数.
【答案】由假设知, 维数为故由维数公式得
由于（1）是
元线性方程组, 又
=方程组 （1）系数矩阵的秩,
故由（2）知,
8． 设
（1）的解空间维数.
是V 的m 个向量且
证明:
维数=A秩.
则结论显然. 故下设
（2）
维数为t. 又因为
且秩
其中
的维数等于齐次线性方程组
（1）
与
均为n 元列向量, 证明:若此二向量组都线
则
为A 的列向量组的一个极大线性无关组.
【答案】（1）
矩阵F 及一个
矩阵G , 使F 和G 的秩都等于，（其中r 是A 的秩），
为数域K 上n 维空间V 的一基, 而
【答案】设A 秩=r, 若