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一、分析计算题

1． 设分块矩阵

（1）（2）

【答案】（1）因为两边取行列式得

（2）

2． 构造一个3阶实对称阵A , 使其特征值为1, 1, -1, 并且对应特征值1有特征向量

【答案】设属于特征值-1的特征向量为两个特征向量正交,

此即

由此可解得对应于特征值-1的特征向量为

、

将这些特征向量正交化得

再单位化得

因为A 是实对称阵, 所以

必与已知

其中A 、D 都可逆，证明：

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令则

故

3． 设

都是行阶矩阵，

且征明：这p

个矩阵秩的和

【答案】由Sylvester 不等式得

故不等式成立.

4． 设

为复数域上全体n 元向量作成的集合.

作成实数域上2n 维空间, 并且

为其一基（i

是虚单位）.

②求

中向量

„在此基下的坐标.

作成实数域上线性空间显然. 又若有实数

则得故又显然（请留意

②设故

在基

. „

从而

线性无关.

中每个向量都可由是复数域上的n , 维空间）.

均为实数）, 则显然

之下的坐标为

线性表示, 因此它是

的一基,

的维数是2n

使

【答案】 ①

①证明:

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5

．

设T

是数域K

上n

维空间V 的一个线性变换, 在某基下的矩阵为对角矩阵, 又的全部互异的特征值. 证明:存在V 的线性变换

其中

为特征值的特征子空间.

【答案】由于T 可对角化, 故V 为所有特征子空间的直和, 即于是对V 中任意向量总可唯一表为

使

为T

（1）

现在令

①对V 中任意

易知

由（1）可得

因此,

②由于对V 中任意故③当⑤显然④对任意

有又任取

则

时, 由于对任意

有

故

故 所以

有

是V 的线性变换.

6

． 设T 是W 维空间V 的一个线性变换. 证明:

①若非零子空间W 对T 不变, 则可选择V 的基, 使T 在此基下的矩阵呈下形:

②T 在某基下的矩阵为对角矩阵【答案】①设W

维由于W 对T 不变, 从而

再设

于是由上两个等式可知:T 在基②设T 在基

下的矩阵为 且

V 可表为n 个一维不变子空间的直和. 为其一基. 再扩充为V 的一基, 设为均属于W , 从而可由

下的矩阵呈（1）形.

线性表示, 设为

. （1）