2017年安徽师范大学Z1203遥感数字图像处理和高等数学之高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 化下列方程为齐次方程，并求出通解
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）令4Y+2h+4k-6）dy=0.
令
原方程化为
（2X-5y ） dX-（2X+4y）dY=0,
即
则原方程成为积分
得故上式成为得原方程的通解（2）将原方程写成且原方程化为则原方程成为
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则
且原方程成为（2X-5Y+2h-5k+3）dx-（2x+
解此方程组得h=1, k=1。故在变换x=X+1, y=Y+1下，
，又令，有，即
，
。
，即
，代入
，令
。又令
，有
，因，
则，
积分即
得原方程的通解（3）令+7k-3h+3）dY=0.
令
，解此方程组，得
故在变换
则
将
代入上式，
且原方程成为（3Y-7X+3k-7h+7）dX+（7Y-3X
下，
原方程化为（3Y-7X ）dX+（7Y-3X ）dY=0. 即
则原方程成为积分即将
代入上式，得原方程的通解
，
该方程属于
，则将是由方程。
；（2）
。
，两边同时微分得
又
，则
故
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，又令
即，得
，有
，
类型的，
一般可令即
所确定的函数，其中
具有积分
（4
）将原方程写成
。令
得
2． 设二阶导数且
（1）
，且原方程成为代入上式，得原方程的通解
【答案】（1）由方程
。
（2）由（1）可得，
3． 有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm ，顶角为60°，漏斗下面有面积为0.5cm 的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时间。
【答案】水从孔口流出的流量Q 是单位时间内流出孔口的水的体积，即又从力学知道，为水面到孔口的高度。于是有
（1）设在时刻t ，水面高度为
。
2
，其中0.62为流量系数。S 为孔口截面积，g 为重力加速度，h
，即，从图中可见，
，于是在时间间隔[t, t+dt]
内漏斗流出的水的体积，即水体积的改变量
（2
）得微分方程
，
并有初始条件
。由微分方程分离变量，
得
图
两端积分，得
于是
代入
（s ）。
4． 求下列伯努利方程的通解
，即得
，代入h=0时得流完所需时间t ≈10
，代入初始条件：t=0，h=0，得
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