2017年安徽师范大学Z1203遥感数字图像处理和高等数学之高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 设函数f （x ）在区间[a, b]上连续，且f （x ）≥0，那么
【答案】
在几何上表示什么？
表示xOy 面上，由曲线y=f（x ）, x=a, x=b以及x 轴所围成的图形绕x
轴旋转一周而得到的旋转体的体积。
2． 求由方程的极值。
【答案】在原方程两边同时对X 求导得
在原方程两边同时对y 求导得
在
两式中，令
，解得
将其代入已知方程得导得
式两边对y 求导得
当
时，
，将其代入
三式中，得
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确定的函数
，故驻点为和，式两边对x ，y 分别求
则函数Z 在当
处取得极小值
时，
。
，并将其代入
，得
故Z 在点处取到极大值。
3． 试说出下列各微分方程的阶数:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（l ）一阶; （2）二阶; （3）三阶; （4）一阶; （5）二阶:（6）一阶.
4． 小船从河边点0处出发驶向对岸（两岸为平行直线）。设船速为a ，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为h ，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为k ）. 求小船的航行路线.
图
【答案】设小船的航行路线为C :
则在时刻t ，
小船的实际航行速度为速;
为小船的主动速度.
，故有
由于小船航行路线的切线方向就是小船的实际速度方向（如图）
分离变量，得
，积分得
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，
其中为水的流
，代入3x=0，y=0，得C=0，故小船航行的路线的方程为
由于小船始发于点（0，0）
二、计算题
5． 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为O 的另一侧与点O 的距离为
，
的点
的点
处，有一与成角
的力
成角
的力
作用着；在
处，有一与
作用着. 问
，，，
，
符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
图
【答案】如图所示，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为
即
6． 求曲线y=ex 在点（0，1）处的切线方程。
【答案】
，即x-y+1=0。 故曲线在（0，1）处的切线方程为y-1=1·（x-0）
7． 利用高斯公式计算曲面积分：
（1）
成的立体的表面的外侧；
（2）（3）
的表面的外侧；
（4）
围成的立方体的全表面的外侧。
【答案】
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，其中为平面所围
，其中为球面的外侧；
，其中为上半球体
，其中是平面所