2017年河海大学756高等数学(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 如果一公司经营某种产品的边际利润函数为
【答案】
2． 如果某国人口增长的速率为u （t ），那么
【答案】
3． 如果在时刻t 以
表示什么？ 【答案】
表示在时间段[t1，t 2]内向水池注入的水的总量。
表示什么？ ，那么
表示什么？
表示从经营第1000个产品起一直到第2000个产品的利润总量。
表示该国在[T1，T 2]时间段内增加的人口总量。
的流量（单位时间内流过的流体的体积或质量）向一水池注水，
那么
4． 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
【答案】对于两个函数构成的函数组，如果两函数的比为常数，则它们是线性相关的，否则就线性无关，因此本题中除了
（2）（3）（7）性无关。
即（2）（3）（7）中的函数组线性相关外，其余的7个函数组中两函数之比不是常数，从而线
二、计算题
5． 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性:
【答案】（1）解法一：后的级数
解法二：因（2）（3）因
而
也发散，由比较审敛法知原级数
而
由于级数发散。
发散，故各项乘
发散，故由极限形式的比较审敛法知原级数发散。
而
发散，由比较审敛法知原级数发散。 收敛，由极限形式的比较审敛法知原级数发散。
（4）因
收敛。
（5）
当
而
时
，
而收敛，故由极限形式的比较审敛法知原级数
，一般项不趋于零，
故
收敛。
发散，当a>1时
，
收敛，故由比较审敛法知
6． 已知F f x ）（x ）是（的一个原函数，而F （x ）是微分方程的解，试将f （x ）展开成x 的幂级数，并求
【答案】由当
时，
知由
，积分得
得
故
而
满足初始条件
的值。
C 为任意常数。
于是
故
于是
7．
求函数
向的方向导数。
【答案】椭球面在点
处的沿法外线方向的一个向量为
，则
在椭球面
上点
处沿法外线方
8． 设a=（3，5，﹣2），b=（2, 1, 4），问λ与μ有怎样的关系，能使得λa ＋μb 与z 轴垂直？
【答案】 λa ＋μb=λ（3，5，﹣2）＋μ（2, 1, 4）=（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）. ，即 要λa ＋μb 与z 轴垂直，即要（λa ＋μb ）⊥（0, 0, 1, ）（λa ＋μb ）（0, 0, 1, ）=0 ·
即（3λ＋2μ，5λ＋μ，﹣2λ＋4μ）（0, 0, 1, ）=0 ·故﹣2λ＋4μ=0，因此当λ=2μ时能使λa ＋μb 与z 轴垂直.
三、证明题
9． 证明：若函数f （x ）在点x 0连续且
。 【答案】若
，因为f （x ）在x 0连续，所以取
，则存在x0的某一邻域，当时
，
当
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