2017年安徽师范大学Z1001高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解:
【答案】（1）令
则
且原方程变为
分离变量，得
积
分得arctan=x+C, 即u=tan（x+C）, 代入u=x+y, 得原方程的通解y=-x+tan（x+C）。
（2）令u=x-y,
则
u=x-y，得原方程的通解
（3）令u=xy，则
且原方程变为
且原方程变为
即令
即
，代
入
则
且原方程变为
得原方程的通
解
即
积分得
即
即udu+dx=0,
积分得
，代入
代入u=xy。得原方程的通解（4
）将原方程写成
即
积分
得
（5）原方程改写成原方程变为
积分
得
2． 已知函数
满足微分方程
令u=xy，即
整理并分离变量，得
则
且
代入u=xy，并整理，得原方程的通解
为
且 求y （x ）的极大值和极小值。这是一个可分离变量的一阶微分方
【答案】
把方程化为标准形式得到
程，在两边分别积分可得方程通解为
令
当x=1时，可解得当x=-1时，可解得
3． 若函数
恒满足关系式
函数取得极大值函数取得极小值
C 为任意常数。由得
且
得
可
即
知
就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
4． 计算下列三重积分：
。
，则
，
，其
中所围立体。
为
由
，其中
体。
为由所围立
，其中
体。
【答案】（1）由于积分区域为
关于
为由所围立
平面对称，
则令
，
，则
（2）积分区域可分为两部分，利用球面坐标得
（3）积分区域关于平面对称，则令是在第一象限的部分，则
（4）积分区域为图中所围立体，则