2017年安徽师范大学Z1001高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 设函数
【答案】由
，其中F 有二阶连续偏导数，求
可得
2． 若函数
恒满足关系式
就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
3． 如果在时刻t 以
表示什么？ 【答案】
表示在时间段[t1，t 2]内向水池注入的水的总量。
及
特征根
为
。
，则 ，
的流量（单位时间内流过的流体的体积或质量）向一水池注水，
那么
4． 已知函数f （x ）满足方程
（1）求表达式f （x ） （2）求曲线的拐点
【答案】（1）特征方程
为
齐次微分方程
的通解
为可知
（2）曲线方程为
故则
令
号。
当
时
，
可知
知曲
线
可知
是
得
为了说明
是
再
由
得
唯一的解，
我们来讨论
可
知
在
当
和时的符时
，
的唯一解，同时，由上述讨论可
在x=0左右两边的凹凸性相反，可知（0，0）点是曲
线
唯一的拐点。
二、计算题
5． 已知f （x ）是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系
式
，且f （x ）在x=1处可导，求曲线y=f（x ）在点（6, f （6））
处的切线方程。
【答案】由f （x ）连续，令关系式两端x →0，取极限得又而
故由于
于是
，即（6, 0）处的切线方程为因此，曲线y=f（x ）在点（6, f （6））即
6． 已知级数
（1）求出该级数的和 （2）问
取多大，能使当
时，级数的余项
的绝对值小于正数ε
（3）分别讨论级数在区间[0, 1],
在（﹣∞, +∞）上收敛。
，当x=0时，S （0）=0; 当x ≠0时，该级数的公比为【答案】（1）设该级数的和函数为s （x ）
的等比级数，且故
于是
（2）
当x=0时，
当
时，
，取
（不妨设ε<1）
取N=1，则当n>N时，就有
则当n>N时，
（3）该级数的各项
在区间[0, 1]上是连续的，
如果
在[0, 1]上一致收敛，由定理1知，其和函数s （x ）在[0, 1]上连续，今s （x ）在[0, 1]
有间断点x=0, 由此推知该级数在[0, 1]上不一致收敛。
在区间
上，因为
所以，
取
当n>N时，对一切
即级数在
7． 求旋转抛物面
【答案】联立
，得
上一致收敛。
在三坐标面上的投影.
. 故旋转抛物面在xOy 面上的投影为
有