2017年杭州师范大学高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 设D 是由曲线
，直线
及x 轴所围成的平面图形，V x ，V y 分别是D 绕x ，求a 的值。
2． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，则
若
【答案】设
则
由条件
非齐次方程，对应齐次方程的通解为：
其中
对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程的通解为将初始条件故
的表达式为
代入，可得
为任意常数。
其中
为为任意常数。
可知
，这是一个二阶常用系数线性
满足
求f （u ）的表达式。
轴和y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若
【答案】
3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由
=5，将x=0，y=5代入函数关系中，得c=-25，即
。
（2）由
，故
（3）由
得
得
，将
，将x=0，y=0及代入以上两式，
得
及代入以上两式，得
由得，不妨取
，由①式得，故
注：取，可得同样结果。
4． 小船从河边点0处出发驶向对岸（两岸为平行直线）。设船速为a ，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为h ，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为k ）. 求小船的航行路线.
图
【答案】设小船的航行路线为C :
则在时刻t ，
小船的实际航行速度为速;
为小船的主动速度.
，故有
由于小船航行路线的切线方向就是小船的实际速度方向（如图）
分离变量，得
，代入3x=0，y=0，得C=0，故小船航行的路线的方程为
由于小船始发于点（0，0）
，积分得
，
其中
为水的流
二、计算题
5． 自点标为（点
（，0，
；）
）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.
为点
关于xOz 面的垂线，垂足F 坐
，
，0）；
为
为点
关于xOy 面的垂线，垂足D 坐标为（
，
）
. ，0，0）；
为点
关于y 轴的垂线，垂
）
.
【答案】设空间直角坐标系如图所示，根据题意，关于yOz 面的垂线，垂足E 坐标为（0，为点
，0）；
为点
关于x 轴的垂线，垂足A 的坐标为（
足B 的坐标为 （0，关于z 轴的垂线，垂足C 的坐标为（0，0，
图
6． 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数，指出其周期:
（l ）（2）（3）（4）（5）
。
。
【答案】（l ）是周期函数，周期（2）是周期函数，周期（4）不是周期函数。 （5）是周期函数，周期
7． 求过点（2, 0，﹣3）且与直线
。
（3）是周期函数，周期T=2。
垂直的平面方程.
【答案】根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即
故所求平面方程为﹣16（x －2）＋14（y －0） ＋11（z －3）=0.即
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