2017年南京大学2601,笔试(英语、高等数学、大学物理)之高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴问的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.
，切点为（z ，y ）. 依条件，切线在59轴与Y 轴上的截距分【答案】设曲线方程为y=y（x ）别为2x 与2y ，于是切线的斜率
积分得代入初始条件
2． 验证形如程，并求其通解。
【答案】由又原方程改写
成
，可分离变量得
积分得
3． 如果某国人口增长的速率为u （t ），那么
【答案】 4． 计算
【答案】
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，分离变量得
。
。
，即
得C=6。故曲线方程为xy=6。
的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方
即得 ，并
将
后，便是原方程的通解。
表示什么？
代入上式，
有
，代入
表示该国在[T1，T 2]时间段内增加的人口总量。 ，其中
二、计算题
5． 计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积（如图所示）
图
R]，【答案】以x 为积分变量，则x 的变化范围为[-R，相应的截面等边三角形边长为面积为
6． 求心形线
【答案】
7． 设生产某产评的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为，已知产销平衡，求: 价，单位:元; Q 是销量，单位:件）
（Ⅰ）该商品的边际利润。
（Ⅱ）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （Ⅲ）使得利润最大的定价P 。 【答案】（1）设利润为y ，则边际利润为利润增加20。
（3）令y ’=0，得Q=20000，
8．
计算曲面积分
分别如下：
【答案】抛物
面
与xOy 面的交线
为
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，
，因此体积为
的全长。
，（P 是单
。
（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20。其经济意义为：当P=50时，销量每增加一个，
。
，
其中
为抛物面
在xOy 面上方的部分
，
，
故在xOy 面上的投影区域
，又
于是，有
三、证明题
9． 证明函数
【答案】
和
都是
的原函数。
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