2017年南昌大学线性代数(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
【答案】（1
）将原方程写成此得离变量，得
代入初始条件：
积分得
两边平方，得
因而特解可表示为
（2）令入初始条
件
代入初始条件
（3）因
并由初始条件x=1,
又因x=1时，
故积分得
又因x=1时，y=0, 故再积分得
（4
）在原方程两端同乘以
得
即
积分得
代
则
，原方程化为
得
从而
有
得
，故所求特解为故积分得
分离变量即
即
积分得
代
又积分
得
，两端乘以
得
，
得
故有
即
由分
代入初始条件：x=1, y=1，得C=±1，
于是有由于在点x=1处，y=1, 故在x=1的某邻域内y>0,
入初始条件：
得
得从而有
分离变量后积分
即
代入初始条件：x=0, y=0,
得
（5）在原方程两端同乘以入初始条件
分
得
代入初始条件：（6
）令
则
得
得从而有
得
于是得特
解
即
即并由于
，
故取
积分得代
分离变量后积
于是得特解
分离变量，
得即
由初始条
又分离变量，
得
得
原方程变为
得
积分
或写成
件：y=0, p=0, 积
分
由初始条件
：
，即
2． 已知
，其中，求及。
【答案】由
两边同时对X 求导得
得
原方程组两边对y 求导得
，即
得，即
3． 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴问的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.
，切点为（z ，y ）. 依条件，切线在59轴与Y 轴上的截距分【答案】设曲线方程为y=y（x ）别为2x 与2y ，于是切线的斜率
积分得代入初始条件
，即
。
，分离变量得
。
得C=6。故曲线方程为xy=6。
4． 质量为1g （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的速度成
2
反比，在t=10s时，速度等于50cm/s外力为4g ·cm/s，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多
少？
【答案】设在时刻t ，质点运动速度为v=v（t ）。据题设条件，
有m=1, t=10, v=50, f=4，
得
。
代入条件：t=10, v=50, 得c=500，于是有特解当t=60（s ）时，
，
，故有微分方
程
，分离变
量
，且由，积分
得
二、计算题
5．
设
为曲线
上相应于t 从0变到1
的曲线弧。把对坐标的曲线积分
化成对弧长的曲线积分。
【答案】方向余弦为
从而
，注意到参数t 由小变到大，因此的切向量的
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