2017年南京大学2601,笔试(英语、高等数学、大学物理)之高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 镭的衰变有如下的规律:镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知，镭经过1 600年后，只余原始量R 0的一半. 试求镭的存量R 与时间t 的函数关系.
【答案】设在时刻t ，镭的存量为
，即
。
，将t=1600，
，代入上式，得
，即
，
，由题设条件知，
，即
，
积分得
R=R0，因t=0时，故C=R0，所以 2． 设
。
求。 两个区域，
【答案】由于f （x ，y ）在不同范围内的表达式不同，故应将积分区域划分为如下图所示。
当
时，
当
时，有
当
时，有
当
时，有
综上所述，得
3． 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
【答案】（1
）将原方程写成此得离变量，得
代入初始条件：
积分得
两边平方，得
因而特解可表示为
（2）令入初始条
件
代入初始条件
（3）因
并由初始条件x=1,
，两端乘以
得
，
得
故有
即由分
代入初始条件：x=1, y=1，得C=±1，
于是有由于在点x=1处，y=1, 故在x=1的某邻域内y>0,
则
，原方程化为
得
从而
有
得
，故所求特解为故积分得
分离变量即
即
积分得
代
又积分
得
又因x=1时，故积分得
又因x=1时，y=0, 故再积分得
（4
）在原方程两端同乘以
入初始条件：
得
代入初始条件：x=0, y=0,
得
（5）在原方程两端同乘以入初始条件
分
得
代入初始条件：（6
）令
则
得
得从而有
得
于是得特解
分离变量，
得即
积分
或写成
由初始条
又分离变量，
得
得
即并由于
，
故取
积分得
代
分离变量后积
得
得
从而有
于是得特
解
即
即
积分得
分离变量后积分
代即
原方程变为
得
件：y=0, p=0, 积
分
由初始条件
：
，即
4． 计算
【答案】
，其中
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