2017年兰州交通大学数学基础与计算几何之高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 试求
的经过点M （0, 1）且在此点与直线
相切的积分曲线。
【答案】由于直线
在（0, 1）处的切线斜率为，依题设知，
所求积分曲线是初值问题的解。
由
再积分，
得
2． 设又
【答案】由
，其中，求函数值
可得
由对称性可知
又
，则
。
，
二阶可导，
，
积分
得
，代入x=0, y=1,
得
代入x=0
,
得
，即
有
于是所求积分曲线的方程为
则又
，故
，则
。
，故
则 3． 已知
，其中
，求
及
。
。
【答案】由
两边同时对X 求导得
得
原方程组两边对y 求导得
，即
得，即
4． 设有一个由电阻R=10Ω、电感L=2H（亨）和电源电压E=20sin 5tV （伏）串联组成的电路. 开关K 合上后，电路中有电流通过. 求电流i 与时间t 的函数关系.
【答案】依题意，有
，即
其中，记
，则
故
于是
代入初始条件t=0, i=0, 得C=1, 故电流i 与时间t 的关系为
按波动学的习惯，可写成
二、计算题
5． 判别下列方程中哪些是全微分方程? 对于全微分方程，求出它的通解。
【答案】
因
，故原方程是全微分方程。
故所求通解为