2017年南方医科大学公共卫生与热带医学学位分委员会617数学综合之数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】已知
且满足
.
即
证明
:
有下界又由
可推出
若
则
即
单调递减. 由单调有界定理，在不等式
存在，记为
可知
矛盾.
由此可见
的极限存在，并求出其极限值.
两边，
令
再在不等式
中，令可得
即
解之得
使得
则存在使得 则
与
设
因
由
根据第(1) 题知：
4． 证明
:
【答案】令
则
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使的即
即
由
2． 证明：若S 为无上界数集，则存在一递增数列
【答案】令M=l，存在且
如果已找到
令
则存在
使得
再令
归纳原理知，存在一递増数列使得
3． (1) 证明：若收敛，且存在极限
(2) 证明：若f 在【答案】(1) 由于有
从而有
上可导，且存在，若
都收敛，则对
发散，于是
存在M ，使得当
时，
也发散. 这
故
与已知条件矛盾，故有
(2)
设
收敛可知收敛，
所以
原式
对上式右端第二个积分，作变换
原式
这里用到了在
5． 证明关于函数
(1) 当x>0时，(2) 当x<0时，【答案】即
是不超过
的如下不等式：
的最大整数，因此
则有
故
(1) 当x>0时，式(2) 当x<0时，式
6． 设
在
两边同乘以X ，得到两边同乘以X ，得到
证明则
则取；
则
因
即
则
故由零点存在定理知，存
在
使
得
使，上连续，
因
故
上连续，且
【答案】
作
(1) 若(2)
若
二、解答题
7．
求
度，并求梯度为零之点。
【答案】因为在点在点因
令
解之得
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在点
所以：
在点
处的梯
因此使梯度为零之点为
8． 试分别举出符合下列要求的函数f :
不存在.
【答案】（1）令（2）令
则
9． 计算下列第一型曲线积分：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
【答案】(1)
(2) 右半圆的参数方程为
从而
(4) 由于圆的参数方程为从而
(5)
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则
1不存在.
而于是
其中是以为顶点的三角形；
其中是以原点为中心，为半径的右半圆周； 其中为椭圆，其中为单位圆周.
其中
为螺旋线
在第一象限中的部分；
的一段；
的一段；
与
相交的圆周.
其中是曲线_
其中是