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一、证明题

1． 已知

为发散的正项级数

，

为其部分和，用柯西收敛原理证明

使得

可以先取n=N+l，注意到

递增，所以此时有

因为则

所以原命题成立.

2． 设二元函数

证明：对任意

【答案】应用微分中值定理，有

其中介于

3． 证明:若

【答案】(1)

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发散.

【答案】只需证明对任意的正整数N ，都存在整数

递増且趋于正无穷，所以对给定的N 必然存在足够大的正整数m , 使得

在区域

成立

上可微，且对

有

与之间，介于

与之间.

为包围区域V 的曲面的外侧，则

(2) 由(1) 的运算可得

4． 试证明

【答案】令

则

于是原不等式左边变为

(应用了赫尔德不等式

)

5． 设

【答案】

. 下证

是数列

(反证法) . 假设x 0不是数列因

为

对

则一定有

矛盾. 于是必有

试证：数列

的聚点，则存在

的聚点全体恰为闭区间

不含有数列 N ，

当

的一个聚点。

的任意一项. 这里

即

不妨设

的

所以存在自然数来说，

或者

如若不然，则有

时，

有

这是因为

.

这与

或者

于是

这说明B 不可能是数列的聚点. 矛盾. 因此，是数列

一个聚点。

6． 证明：定圆内接正行边形面积将随n 的增加而増加。

【答案】设圆的半径为R ，则该圆的内接正n 边形面积

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令

则

于是当

时，

故

在

上严格递增. 因此，数列

严格递增. 即圆内接正

n 边形面积将随n 的増加而增加。

二、解答题

7． 已知反常积分

【答案】注意到

因为反常积分另外

对于固定的

收敛且与y 无关，所以

都单调，且在

在[0, 1]上关于y —致收敛. 时，满足

即一致有界. 从而

收敛，证明含参变量反常积分

1]上一致收敛. 在[0，

由阿贝尔判别法知，在上一致收敛.

8． 求下列函数在指定点的导数：

（1）设

（2）设

（3）设.

【答案】⑴

（2）

（3）当x>0时，故

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求

求

求