2017年南方医科大学公共卫生与热带医学学位分委员会617数学综合之数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设数
列成立. 证明：函数
【答案】
由
上连续，
所以对任意固定的
处间断，
处间断，
故函数
2． 若函数u=u(x ，y ) 满足拉普拉斯方程满足这个方程.
【答案】设而由
及
注意到
则有
即v 也满足拉普拉斯方程.
则
证明：函数
也
在内的间断点集为
上连续.
在
处连续，
为中互不相同的点列
，
在
为函
数
在
在
上一致收敛
，上的惟一间断点.
设
均
玍上一致有界，即存在正数M 使得
内的间断点集为
知
对所有的与所有
3． 设函数f 在且有
上连续，且证明：存在点由f (x ) 在
使得
上连续可知F (x ) 在
上也连续.
【答案】作辅助函数
若若
综上，存在.
则
则取或即有
使
得
即
由根的存在性定理知，存
在
使得
4． 设为连续函数，证明：
【答案】(1) 从所要证明等式的被积函数来看，应作代换
则
(2)
令
则
从而
由此得
5． 证明：由曲面S 所包围的立体V 的体
积
为曲面S 的外法线方向余弦。
【答案】因
故原公式成立。
6． 设
在对
产生一序列
内无上界，求证
：在
对由
内无上界，
对
因为2不是上界，所以使得
使得
对
使得
因为1不是上界，
所以
使得.
，
使得
依此下去，
为
其中
于是有
【答案】
由于
因为3不是上界，
所以
因为n 不是上界，所以及广义极限不等式知
二、解答题
7． 设某流体的流速为
【答案】设流量为E , 则
求单位时间内从球面的内部流过球面的流量.
(其中
利用球坐标变换计算)
8． 求下列函数的极值点：
【答案】(1) 解方程组
得稳定点(a ，a ) ，(0，0) ， 由于
所以(a , a) 为极大值点，
所以(0, 0) 不是极值点， (2) 由
得稳定点(1, 0) ，
故函数f (x ，y ) 在点(1，0) 取得极小值. (3) 解方程组
得稳定点由于
所以
9． 设
(1) 试求以(2) 计算
为极小值点.
其中
为自变量的反函数组；
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