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一、证明题

1． 试应用

定义证明

肘，

从而对任给

取

则当

时，

所以

2． 证明：函数

【答案】因为

所以

3． 设f 为定义在D 上的有界函数，证明：

⑴(2)

【答案】(1)

设

使得

(2) 同理可证.

4． 证明下列结论：

⑴当

时

，

使得

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【答案】因为当

为常数) 满足热传导方程：

. 则对一切

即

有

所以

即

对任意

存在

其中并求和

(2) 若

在点a 的邻域

内连续，

有

且

【答案】(1)

令

使得

令

则

于是有

从这个式子中可解得

由亍

>

所以

且易知

(2) 由泰勒定理知

其中

比较

的两个展式有

于是

令

1取极限，利用

阶导数的定义及

在

内连续有

，则

在

上

对

利用拉格朗日定理，

当

时

，

5． 设f (x ) 是区间

使得

(1) (2)

恰好是

【答案】因为

上的一个非常数的连续函数，M ，m 分别是最大、最小值，求证：

存在

在是或若对任

意

则有则有

且

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上的最大、最小值(最小、最大值) . 上一个非常数的连续函数，所以

有

使得

使得

设

使

则结论成立. 否则，即存在

点

即总存在

当当

时，取时，取

重复上述过程：若对任意

或有

或者存在

此时，因为假如

即所以

由于矛盾.

并且

有

且

递増有上界

且

这样再重复上述过程，得到

有时，

取

使

使

则结论成立. 否则，即存在点

有

且当此时结论成立.

使

是连续函数，可以推出

是

在

上的最小值

是

有

时，

取

递减有下界，所以存在

在上

的最大值.

6． 证明级

数

【答案】

收敛的充要条件是:任给正

数

存在正整数N , 对一切

存在某正整数N , 对一

切总

有

充分性 任给正数当然对

总有

从而

的m

有

由柯西准则知级数必要性 若级数特别地，取

收敛.

收敛，由柯西准则知对任给正数n 存在自然数

则对任意

有

当

时，

二、解答题

7． 将函数

【答案】记

因为

展开为傅氏级数. 是奇函数，所以

且

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