2017年湘潭大学555概率论与数理统计(一)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 设总体概率函数如下，
（1）（2）（3）
【答案】（1）不难写出似然函数为
对数似然函数为
将之关于求导并令其为0得到似然方程
解之可得
而故
的最大似然估计.
是样本，试求未知参数的最大似然估计.
（2）此处的似然函数为
它只有两个取值：0和1，为使得似然函数取1，的取值范围应是而的最大似然估计可取
（3）由条件，似然函数为
要使
尽量大，首先示性函数应为1，这说明
的最大似然估计应为
因
中的任意值. 这说明MLE 可能不止一个.
其次
要尽量小，
综上可知，的最大似然估计应为
2． 设随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求（1）边际密度函数
【答案】（1）因为当0 3． 设能获得 是取自均匀分布总体作为的无偏估计. 则 从而 可见 不是 的无偏估计量. 由 解之得 因而 4． 设 【答案】因为 5． 设 来自贝塔分布族独立同分布, 且都服从. 的特征函数为 分布, 试求 的分布. 所以由诸的相互独立性得 是 的无偏估计量. 记 【答案】 令 的估计量，问 所以X 与Y 不独立. 的一个样本，若分别取 是否为 ’这是贝塔分布 ；（2）X 与Y 是否独立？ 和 的无偏估计量？如果不是，如何修正才 为样本相应的次序统计量，于是 有 的特征函数为 , 这正是正态分布的特征函数, 所以由唯一性定理知 的一个样本, 寻求（a , b ）的充分统计量. 【答案】样本的联合密度函数为: 由因子分解定理, 6． 设回归模型为 是充分统计量. 试求 的最大似然估计，它们与其最小二乘估计一致吗？ 【答案】似然函数为 其对数似然函数为 导并令导函数为0，得到如下似然方程组 经过整理可以解出 可以看到 的最大似然估计与其最小二乘估计是一致的. 只，求下列事件的概率. （忽略常数项），将其分别对 求 7． 箱子里有n 双不同尺码的鞋子，从中任取 （1）（2）（3）（4）样本点数. =“没有一双成对的鞋”； =“只有一对鞋子”： =“恰有二对鞋子”： =“有1*对鞋子”. 【答案】该问题中样本空间含有个等可能的样本点，这是分母，下面分别求各事件所含的 （1）要使发生，可分两步走，先从n 双鞋子中任取2r 双，再从抽取的2r 双鞋子各抽取一只，故中的样本点个数为 由此得 （2）要使 发生，先从n 双鞋子中任取1双，再从余下的n-1双鞋子中取出2（r-l ）双，最 中的样点个数为 由此得 后从取出的2（r-l ）双中各取一只，故