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一、证明题

1． 设f （x ）在[0, 1]上连续可导, f （0）=f（1）=0, 证明:

（1）存在c>0, 使

（2）c 的最小值为

.

【答案】（1）将f （x ）在[0, 1]上展开成正弦级数

则

由巴塞伐尔等式得

故

由此可见, 只要变成等式,

故c 的最小值为

2． 设数列

设有

.

, 上述不等式总成立.

时, 式（1）

（2）为求c 的最小值, 必须求f （x ）使式（1）中等号成立. 易见, 当

为（a , b ）中互不相同的点列，a n 为函数f n （x ）在（a , b ）上的惟一间断点.

在（a , b ）上一致有界，即存在正数M 使得

均成立. 证明：函数

在（a , b ）内的间断点集为

，

知

f n 在（a , b ）上一致收敛，（x ）在

对所有的n 与所

.

【答案】由上连续，

所以

在上连续.

在x=ak 处连续，

在（a , b ）内的

对任意固定的在a k , f k （x ） 在x=ak 处间断，

在x=ak 处间断，故函数

间断点集为 3． 证明:

在

上无界, 而在任一闭区间

上有界.

【答案】①对任意正数M , 以1和则②由令

且

可知,

在则对一切

. 故

为两直角边作一直角三角形. 设其较大的锐角为, 为

上的无界函数.

时,

故

在

上有界.

严格递增, 从而当

都有

二、解答题

4． 求下列不定积分:

（1）（3）

【答案】（1）设

比较等式两端x 的同次幂系数, 得

由此, 得

于是, 有

（2）

（2

）（4

）

,

, 通分后应有

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（3）当

n=0时

,

当

时,

（4）

又因为

因此,

5．

设是不含原点的有界区域, 其体积为V , 边界为光滑的闭曲面, n 是的外法线单位向量, r= （x , y , z ）,

f （x ）是

上的连续可微函数, 它满足微分方程

【答案】因为:r= （x , y, z ）的单位向量为位向量为

,

则

. 求

, 其中, 的外法线单