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一、证明题

1． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理.

【答案】一致连续性定理:若函数f 在闭区间上连续, 则f 在[a, b]上一致连续. 因为f 在[a, b]上连续, 所以任给

取

任意

, 存在. 则H

是

对任意

, 有

,

不妨设

,

即

.

的无限开覆盖. 由有限覆盖定理, 从中可以选出有限个

开区间来覆盖[a, b].不妨设选出的这有限个开区间为

取当

时, 由于

.

对任意

因此

由一致连续定义, f 在[a, b]上一致连续.

2． 证明:若f 为周期函数, 且

【答案】用反证法. 设f 的周期为作数列

则有

由归结原则知.

3． 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由

的递减性, 有

即

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则假设

则存在

使得

这与题设矛盾. 故

从而有

依次相加得

由左边不等式, 得

由右边不等式, 得

综合两式有

（2）由（1）有

而

, 于是由迫敛性定理有

4． 设f （x , y ）及其一阶偏导数在（0, 1）附近存在、连续, 且证明:

在点

附近可确定一单值函数

, 并求

.

附近满足隐函数存在定理的条件. 和在,

附近由方程

且

=0可以确定唯一的

, 满足

附近连续.

知, 初始条件满足.

及f 的一阶偏导数在（0, 1）附近.

, 又f （0, 1） =0,

【答案】令

下面验证F （x , t）在由的连续件可知,

由而连续可微函数

于是, 由隐函数存在定理,

在

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5．

证明:若致地成立,

即对任意

【答案】先证由于

.

又由于f （

x ,

t

）对任何

因此对从而

即

再证

收敛.

考虑

由

一致收敛于F （x ）知, 任绐

存在N 1, 对一切A> N1和一切

由由从而有

综合上述, 对任给的

存在x , 对一切x>X, 有

收敛,

对上述

取

存在N 2, 对一切A> N2, 有

, 对

有

一致收敛于

,

都有

, 存在X , 对一切x>X和在

在时一致收敛于F

（x

）. 且

收敛.

时一致收敛, 因此任给

对任何对一切

成立, 则有

一

存在M>0

, 当x>M

时,

存在N

, 对一切

, 和一切, 都有

, 存在X , 对一切

x>X和t , 有

二、解答题

6．

设

（i ）在（ii ）在

在点

的某邻域

1上, 对每个

上有定义, 且满足: . , 存在极限

（即对任意

存在

当

上, 关于x 一致地存在极限

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