2018年杭州师范大学理学院726数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、综合题
1． 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛:
⑴（3）
【答案】（1）令
（2）
（4）
dx=2tdt
而当
, 有
9
而当又
而（2）
绝对收敛.
（3）令令
. 则
可见
时, g （X
）在
上单调趋于0, 由狄利克雷判别法知,
由狄利克雷判别法知
. 散,
并且综上所述, （4）当
时,
第 2 页，共 33 页
,
时
, 单调趋于0. 故由狄利克雷判别法知:收敛.
是发散的. 故发散. 所以在
, 由定理推论3.
是条件收敛.
收敛. 再由定理,
, 则
>
收敛
.
收敛.
但由于
,
故
发散.
, 发
条件收敛.
由且, 则
发散,
故发散, 于是
发散, 且有
令
所以. 当
时, g （x ）是单调递减的, 且有
, 由狄利克雷判别法,
由此得可以证明
2． 试证:
（1）乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和； （2）商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之差. 【答案】（1）设u=x y,
则
故
（2）设
则
故
发散. 用上面证明收敛. 故
令
收敛, 于是
收敛的方法,
条件收敛.
, 则
收敛.
3． 计算下面的三重积分:
（1）（2）其中:
.
则
（2）作新坐标系交变换（从
坐标系
→坐标系Oxyz 可通过旋转变换来实现, 因此从坐标系
到坐标系Oxyz 之间的
正交变换是存在的）, 变换的行列式为1.
第 3 页，共 33 页
【答案】（1）作柱坐标变换:
, 使轴过点（a , b , c ）, 且使坐标系到坐标系Oxyz 之间的变换为正
显然该变换将半径为R 的球仍变为半径为R 的球. 记
4． 将
【答案】令
按
的幂展开成幂级数. , 则
因此
, 则由（1）知
因为当-1 即得 , 亦即x>0. 5． 设有一半径为R 的球体, P 0是此球的表面上的一定点, 球体上任一点的密度与该点到P 0的距离的平方成正比（比例常数k>0）, 求球体的重心位置. 【答案】方法一 记所考虑的球体为, 以的球心为坐标原点O , 射线OP 0为x 轴的正向建立坐标系, 则P 0 点的坐标为（R , 0, 0）, 球面方程为 密度函数为 设重心坐标为 , 由对称性可知, , 而 第 4 页，共 33 页