2018年湖南大学机械与运载工程学院610数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 若f 在[a, b]上连续可微, 则存在[a, b]上连续可微的增函数g 和连续可微的减函数h , 使得
【答案】因为f 在[a, b]上连续可微, 所以在[a, b]上连续. 令
因此,
所以
2． 证明定理及其推论.
【答案】用平行于坐标面的平面网T 作分割, 它把V 分成有限个小长方体
设和分别是f （x , y , z ）在上的上、下确界. 对于
上任一点, 在
上有
按下标j 与k 相加, 则有
及
由于f （x , y , z ）在V 上可积, 当上可积, 且
3． 设
（1）（2）若
【答案】（1）因为同时, 存在正整数当
时
. , 令
, 则使得当
时,
, 于是, 当n>N时,
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与在[a, b]上连续, 从而是可积的且.
, 取C=0并且g （x ）是增函数, h （x ）是减函数.
时, 上式两端的极限存在且相等, 这说明I （x ）在[a, b]
, 证明:
.
, 对于任给的M>0, 存在正整数, 使得当
,
时
.
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由于M 的任意性
, 故
（2）因为于是
, 所以对一切由（1）的结论得
即
对于任给的
,
存在正整数, 使得当
时,
, 即
, 所以
, 存在正整数N , 使得当n>N时
,
. 即
.
二、解答题
4． 计算
【答案】令
所以
其中
5． 讨论下列瑕积分的收敛性:
（1） （3） （5）
, 故积分
收敛.
,
（2） （4）
【答案】 （1）x=0是瑕点（2）由于故积分
_收敛.
, 故x=l不是瑕点.x=0为惟一瑕点. 因
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（3）x=l为瑕点（4）x=0为瑕点. 当（5）知
收敛,
从而可知
时, 积分发散.
, 此时p=l, . 故积分, 这里
, 故当收敛. 又由
发散
. 时, 积分收敛;
,
由收敛.
知
6．
求下列全微分的原函数:
（1
）
（
2
）（3
）
【答案】（1）由于数
（2）由于无关, 故其原函数
或
（3）由即
7． 计算线积分
【答案】如图所示
, 其中ABC 为三点A （1, 0）, B （0, 1）, C （﹣1, 0）连成的折线.
易见积分与路径无关, 故原式为某一函数的全微分, 令
从而积分与路径
从而积分与路径无关, 其原函
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