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一、证明题

1． 证明:

【答案】

由于所以上式综上可得

2． 设

（1）

（1）设（2）设

则

则

证明:

（2）

, .

【答案】可以看出交换a , b的位置, 这两个等式两边的值都不变. 不妨假设

二、解答题

3． 下列级数哪些是绝对收敛, 条件收敛或发散的:

（1）（2）（3）（4）（5）（6）

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（7）（8）

【答案】（1）因为

（2）因为

（3）根据p 的取值范围讨论. 设

时, 因p>0时,

因

发散, 即原级数在

时, 记

则当x 充分大时

而收敛, 所以原级数绝对收敛.

由级数收敛的必要条件知原级数发散.

不存在, 故原级数发散.

而此时

收敛, 故p>l时原级数绝对收敛,

且

时

时不是绝对收敛

. 则

从而当n 充分大时数列

单调递减, 又

故由莱布尼茨判

别法知原级数收敛且为条件收敛.

（4

）记

列且

（5）因数列以原级数发散.

（6）记

因

故可知:

所以

所以（7）记

（8）记

为单凋递减数列且

因则

故当当

时原级数绝对收敛；

时,

从而原级数发散.

和z=x+y所围的立体; , 因此积分区域

由莱布尼茨判别法可得原级数条件收敛.

故原级数绝对收敛.

发散, 即原级数不是绝对收敛. 又记

时,

为单调减函数, 又

因

而

发散, 故原级数不是绝对收敛.

又因为单调递减数

故由莱布尼茨判别法知原级数条件收敛. . 单调递减且

所以级数

收敛, 又

发散, 且

所

4． 求由下列曲面所围立体V 的体积:（1） V 是由

（2） V 是由曲面【答案】（1）由故体积

和和z=x+y得.

所围的立体.

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这里应用变换

（2）由立体的顶面为

, 得

. 所以立体V 在xOy 平面上的投影为D :底面为

. 则体积

.

令得且, 所以

5． 设f 在[a, b]

上可积, 且

【答案】

任给当

, 由于在. 且

,

试问在

[a, b]上是否可积？为什么？

在[a,

b]上是可积的. 事实上, 由于f （

x ）在[a, b]上可积. 从而有界, 设

上一致连续, 因此对上述, 存在时, 有

（*）

由于f （x ）在

[a, b]上可积, 对上述正数和由可积第三充要条件知, 存在某一分割T ,

使得在T 所属的小区间中,

注意

而这些小区间的长至多为

6． 求下列函数的偏导数:

（1）设f （x , y ）在R 上二阶连续可微,

,

求

（2

）设

, 其中f （u , v

）具有二阶连续偏导数,

解得

对上式及解得

（2）令

’则z =f（u , v ）, 于是

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2

的所有小区间

上, 于是

的总长, 即

:而在其余小区间. 由式（*）知另一方面, 至多在

上

上,

由以上可知, 在T 的小区间

. 故由可积的第三充要条件知在[a, b]上可积.

, 且

二阶可导

, 求

【答案】（1）对f （x , 2x ） =x两边关于

x 求导得

两边关于x 求导得