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一、证明题

1． 用区间套定理证明闭区间上连续函数的零点存在定理.

【答案】不妨设若于是有同样, 若若于是有

取

得证；

若

如此继续可得闭区间套

取

满足

且满足

且

所以

在区间

内二阶可导, 且对

有

将

与

在点作泰勒展开,

有

3． 设

是有界闭集，

是D 上的连续函数.

故有有

.

取

若若

得证； , 取

于是由闭区间套定理知存在惟一的因为由于

2． 证明:若函数

则对【答案】令有

于是, 对任给的

在

处连续, 故

证明：f （x , y ）在D 上有界，且一定取到最大值和最小值. 【答案】①f （x , y ）在D 上有界，用反证法来证明：

若f 无界，则

且所以由连续性，

，这与已知条件矛盾，所以f （x , y ）在D 上有界.

②f （x , y ）在D 上一定取到最大值和最小值. 用确界原理来证明. 由确界原理，知

存在，即

且

再由连续性和有界性得，

同理可得f （x , y ）在D 上有最小值.

二、解答题

4． 设是某个区间, 数列X 0由迭代公式

求证:（1）当f 在区间上严格单调增加时, （2）当f 在区间上严格单调减少时,

相反的单调性.

【答案】（1）以下分两种情况考虑:

如果如果

, 那么用数学归纳法容易证明数列, 那么用数学归纳法容易证明数列

必为严格单调增加数列;

必为严格单调下降数列.

恰好是严格单调增加的, 应用

的两个子列

产生, 如果对

为严格单调数列;

和

都为严格单调数列, 且具有

推出

（2）注意到, 当f 在区间上严格单调减少时, 复合函数第（1）小题的结论即得证明.

5． 讨论复合函数与的连续性, 设

【答案】（1）因为

, 所以

故x=0为（2）

于是

故在x=－l , 0, 1处有跳跃间断点, 在其他点连续. 因为所以

处处连续.

的可去间断点, 即

在

上连续.

, 故

在R 上连续. 又

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6． 计算曲线积分其中L 为圆周:

L 的方向是:从x 轴的正方向看过去为逆时针方向. 【答案】

7． 求下列函数的导数:

（1）

（2）y=y（x ）为可导函数, （3）（4）

存在, y=f（x+y）, 求

, 求y’;

确定,

求

:

, 试用f , f 〃（

X ）

;

, 求y’;

, 求y’（0）;

（5）y=y（x ）由关系式y=f（6）（x ）在点x 三阶可导, 且（x ）

以及（7）（8）

【答案】 （1）

, 求

.

表示

若f （

x ）存在反函数

, 求及;

（

2）对等式两边关于

x 求导得

当x=0时, 由原方程解得y=0, 将x=0, y=0代入上式得（3）令u=x+y, 则y=f（U ）, 于是

, 解得

.