2018年北京信息科技大学理学院823概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
为n 维随机变量，其协方差矩阵
存在. 证明:若
使得
【答案】由于使得另一方面，
方差为零的随机变量必几乎处处为常数，故存在常数a ，使得
2．
设
为一事件域，若
，故其对立事件
.
意味着B 非满秩，故存在一组不全为零的实数向量
则以概率
1在各分量之间存在线性关系，即存在一组不全为零的实数
试证: （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算
（2）构造一个事件序列由此得（3）因为（4）因为（5）因为.
. 所以，所以，所以
，由，由
，由（3）（有限交）得，
.
【答案】（1）因为为一事件域，所以
，其中
3． 设随机变量与
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即所以当即（2）因为所以
时，
相互独立，且都服从和
则
的密度函数为则
上的均匀分布，试证明:
是相互独立的标准正态随机变量.
所以由此得
又因为
又设时，
的密度函数为
所以的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
4． 若事件A 与B 互不相容，且
，证明:
【答案】
5． 设X 为非负连续随机变量，证明:对x ≥0,
有
【答案】设X 的密度函数为p （X ），则有
.
二、计算题
6． 设
为来自b （1, p ）的样本，试求假设
则似然比统计量为
的似然比检验.
【答案】样本的联合概率函数为两个参数空间分别为利用微分法，在上P 的
通过稍显复杂的求导可知，当而当
时
时，
为的严减函数
关于的图形看出），从而拒绝域
这说明此时的似然比检验与传统的关于比率P 的检验是等价的，其中临界值与由显著性水平确定.
7． 考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位:mg ）为
，试检验假
设设鱼的含汞量服从正态分
布
.
【答案】这是在总体方差未知下关于正态分布均值的单侧检验问题， 检验的拒绝域为由样本观测值计算得到
，故在显著性水平0.1下接受原假设.
8． 设随机变量
【答案】利用变换
，求
.
及偶函数性质可得
9． 设总体概率函数如下，
（1）（2）（3）
【答案】（1）不难写出似然函数为
是样本，试求未知参数的最大似然估计.
，当
0.10时，查表知
，
为的严增函数，
（对此性质，也可以画出
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