2018年北京信息科技大学理学院823概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 若
【答案】因为
，证明:
.
•，所以得
由此得
结论得证.
2． 设随机变量独立同分布，且
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
3．
设总体
【答案】令
，则
对上式求导易知，当 4．
设计.
【答案】由于
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所以由
诸的相互独立性
得的特征函数
为
的特征函数，由唯一性定理知
它也是的相
是样本
，的矩估计和最大似然估计都是
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
时上式达到最小，最小值为
证明
:
，它小于的均方误差.
独立同分布
, 是的相合估
这就证明了
5． 设
令证明:且
服从
则
相互独立，
是的相合估计.
相互独立，服从
【答案】令
再令则
所以变换的雅可比行列式为:
计算该行列式，可得
因为，
把雅可比行列式代入上式可得
由此可知
相互独立，且服从
二、计算题
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6． 已知正常成年男性每升血液中的白细胞数平均是夫不等式估计每升血液中的白细胞数在
至
，标准差是之间的概率的下界.
. 试利用切比雪
【答案】记X 为正常成年男性每升血液中的白细胞数，由题设条件知
所以由切比雪夫不等式得
7． 由正态总体N （100, 4）抽取两个独立样本，样本均值分别为求
【答案】由条件得且和相互独立， 从而即
于是
8． 设二维随机变量
（1）求（2）计算
,
的概率密度为的概率密度函数
；
；
’
样本容量分别为15, 20，试
（3）计算x 与y 的相关系数. 【答案】 （1）如图所示1所示
图1
由于
, 其中
故⑴当（2）当（3）当⑷当即
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或时, 有时, 有时, 有
；
； ；
时, 有