2018年北京市培养单位遗传与发育生物学研究所803概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设连续随机变量X 的密度函数P （x ）关于c 点是对称的，
证明：其分布函数F （X ）
有
【答案】由p （X ）关于C 点是对称的，知
由
对上式右端积分作变量变换再对上式右端积分作变量变换结论得证.
对称分布函数的这个性质可用图1表示:
，则
，则
图1
2． 设
【答案】若
证明
:
服从贝塔分布，并指出其参数.
则X 的密度函数为
由其反函数为
上是严格单调增函数，
的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
3． 设总体单随机样本. 证明:
（1）
是
的无偏估计量但
不是是
的无偏估计量. 的无偏估计量. , 故
又即证
是的无偏估计量, 但
不是
的无偏估计量.
即证
4． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p , 证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明:Y 服从参数为
其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
是来自总体的简
（即X 服从于参数为的泊松分布）, 其中
（2）样本函数
【答案】 （1）由题意知, 又则
相互独立, 且
（2）由得
是的无偏估计.
的泊松分布.
5． 设
也是一个分布函数.
都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明
:
【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因
为
于是
（2）有界性. 对任意的X ，有
都是分布函数，故
当
时，
有
且
（3）右连续性.
6． 设总体二阶矩存在，
【答案】不妨设总体的方差为
是样本，证明则
由
由于，
因而
所以
7． 设
令证明:且
服从
则
相互独立，
相互独立，服从
与
的相关系数为
【答案】令