2018年北京信息科技大学理学院823概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设存在，且N 与
为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:
【答案】因为
所以
2． 设连续随机变量X 服从柯西分布，其密度函数如下:
其中参数
（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若
【答案】（1）因为
时，记Y=X, 试证
相互独立，且服从同一柯西分布，试证:
的密度函数为
y 的特征函数为
下证柯西分布的可加性，设若
与
相互独立，则
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常记为
且利用此结果证明柯西分布的可加性；
但是X 与Y 不独立；
与
同分布.
由此得服从参数为
的特征函数
的柯西分布，其密度函数为
这正是参数为为
（2）当所以
的柯西分布.
时有
的柯西分布的特征函数，所以由唯一性定理知，
服从参数
由于当然X 与Y 不独立.
不能推得X 与Y 独立. 的柯西分布，则特征函数为
由相互独立
此题说明，由
（3）设
都服从参数为性得:
即
的特征函数为
与具有相同的特征函数，由唯一性定理知它们具有相同的分布.
3． 设A ，B ，C 为三个事件 ，且
.
证明:【答案】由所以得
. 进一步由
得
得
为总体的样本,
.
又因为
，
4． 设总体X 服从于证明：
【答案】由X 服从又则
, 且分布、是
的无偏估计置.
其中分布可知, 是
的无偏估计量
又故 即证
5． 设T 是
证明:若
【答案】因为T 是
是
的无偏估计量. 的UMVUE ,
，则
是
的另一个无偏估计，
的无偏估计，故其差
是0的无偏估计，
的UMVUE ，是
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即这说明
，且，由判断准则知1
*
，
即
二、计算题
6． 设二维随机变量（X , Y ）的联合密度函数为
试求边际密度函数
.
【答案】因为P （x , y ）的非零区域，所以当0 所以X 的边际密度函数为 这是贝塔分布 . 又因为当0 所以Y 的边际密度函数为 7． 某班级学生中数学成绩不及格的比率X 服从a=l，b=4的贝塔分布，试求 【答案】贝塔分布 的密度函数为 且由 知 8． 设某一设备装有3个同类的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间都服从参数为 【答案】 记 为第i 个元件的工作时间， 则 的指 数分布，当3个元件都正常工作时，设备才正常工作，试求设备正常工作时间T 的概率分布. 独立同分布，其共同的密度 函数和分布函数分别为 由题设条件知，当3个元件都正常工作时，设备才正常工作，这等价于“3个元件中有一个失效，则此设备就停止工作”，故设备正常工作时间 第 4 页，共 38 页 ，所以T 的密度函数为
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