2018年南京师范大学教师教育学院869数学学科基础[专业硕士]之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 计算下列二重积分:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）原式=
（2）曲线:y=x将区域D 分为两部分D 1和D 2, 所以
（3）所以
（4）积分区域为D :数, 所以
从而原式=令
, 则
•
•
,
所以
, D 关于x 轴对称, 而函数
’关于y 是奇函
, 其中
, _
.
2
, 其中D :, 其中
, 其中
其中D :►其中D :
.
.
, 其中在D 1内
. 在D 2内
,
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原式
（5
）方法一 积分区域关于直线y=x对称, 所以
故
方法二
作变换x+y=u,
x—y=v, 则D 变为
于是
, 所以
（6
）积分区域关于y=x
对称,
所以
于是
故
2． 将函数
在【答案】
故f （x ）在
的傅里叶级数为
上展开为傅里叶级数, 并指出傅里叶级数所收敛的函数.
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由收敛定理知,
它收敛于
3．
为R 中的开集，（1）对每个（2
）试证
:
【答案】首先证明因
的
x 存在关于
存在.
（为开集），所以
当
2
为
上的函数，且
中的y
一致连续.
①
使得
时
，有
；根据柯西准则
，知
存在. 即等
根据条件（2
）令
取极限，根据条件（1）可得
）.
式①左端极限存在，记之为A.
其次
，
（证明
由
利用条件（2）及上一步骤之结论，可取x 与x 0充分接近使得
将x 固定，由条件（1
）于是由②式知
4． 讨论下列问题:
（1）f （X ）, g （x ）在点x=0的可导性, 其中
（2）（3）微的点.
②
使得时证毕.
的可导性, 其中
则f （x ）在点x=0可微, 但在x=0的任何一个邻域内有不可