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一、证明题

1． 设f 在[a, b]上三阶可导, 证明存在

【答案】令

则F （x ）, G （x ）在又因为

所以

在区间使得

上对函数

由

可得

因此

2． 设的点x 0处

【答案】因为

所以又

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, 使得

上满足柯西中值定理的条件, 于是存在

, 使得

应用柯西中值定理可得, 存在,

为开集,

且证明:

在满足

. 但是由方程f （x ） =0仍可能在点x 0的邻域内确定隐函数g

:

.

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故由于如果有

使

3．

证明数集

【答案】令数集两个聚点.

对任意由或者有 4． 设

（1）（2）（3

）

【答案】（1

）因为

时,

有

取

则当

当

同时有

所以对于任给的时

, 有

存在

.

成立, 因而

故

（2）对于任给的

时, 时,

存在

, 使得当

再由函数极限的局部有界性知, 存在

则当

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.

可能为零也可能不为零, 故若

可微, 且有连续的偏导数

, 则记

,

. 又因为D 为开集,

,

则方程f （x ）=0可以写为

.

知, 在x 0附近存在隐函数g :

有且只有两个聚点

,

数列, 数列

且

得

, 取

. 总之

, 令, 则当

时, 或者有

.

有且只有

1和

-1两个聚点.

和

, 则

都是各项互异的数列, 根据定义2, 1

和-1是S 的

.

,

.

由定理可知, 这时由

由定义知不是S 的聚点,

故数集

证明:

.

使得当

时,

时, 有

当使得当

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故

（3）对

于任给

的

时

,

时

,

有

取

则当

时有

故

5． 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数. 证明:

【答案】两次应用洛必达法则得

6． 设f （x ）在明:

至少在两点达到最小值.

【答案】由题设知f （x

）在函数的介值性知, 所以

, 使得

, 使得显然

上的值域为

. 再由（f x ）在, 但

,

即F （x ）至少在两点达到最小值.

第 4

页，共

33 页

, 存在

因为

, 使得当时

,

当使得当

由

局部保号性知, 存在

上连续, , 且f （x ）在x=a处达到最小值f （a ）

. 又因为

上的值域也是

, 由连续

,