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一、证明题

1． 设f （x ）为[a, b]上连续函数, 且对任一满足

有

【答案】令

>

则g （x ）在[a, b]上连续, 且

,

由题设有

于是

从而即

为常数.

2． 设f 和g 为区间（a , b ）上的增函数, 证明函数

【答案】（1）

设

于是

即

是（a , b）上的增函数

由

, 得

即

是（a , b ）上的增函数.

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的连续函数g （X ）,

, 证明f （x ）为常值函数.

和

和

也都是（a , b）上的增函数.

都

是

上的增函数

知

,

由

（2）设

3． 设f 在[-a, a]上可积. 证明:

（1）若f 为奇函数, 则（2）若f 为偶函数, 则【答案】因为于是

（1）若f （X ）为奇函数, 则（2）若f （x ）为偶函数, 则

4． 设a 为有理数, x 为无理数. 证明:

（1）a+x是无理数; （2）当【答案】（1）用反证法. 假设矛盾. 故a+x是无理数.

（2）用反证法. 假设ax 是有理数. 因为a 是不等于零的有理数, 所以是无理数矛盾. 故ax 是无理数.

5． 设函数f 在（a , b ）上连续, 且

【答案】在（a , b ）内任取一点使得

同理, 存在

时有

①

, 使得当

时, 有

②

由f 在（a , b ）上连续可知, f 在区间由闭区间连续函数的最值定理知, f 在对一切

都有

③

由式①, ②, ③知, f 在

6． 证明:若函数列

内能取得最小值.

在[a, b]上一致收敛.

一致收敛, 不妨

设

上连续,

上有最小值点, 即存在

,

. 因为

是有理数. 这与x

时, ax 是无理数. 是有理数, 那么

也是有理数. 这与x 是无理数

,

故, 故

对右边第一个积分作代换x=—t , 则得

. 证明f 在（a , b）内能取到最小值.

, 取

, 则存在

,

在[a, b]上满足定理的条件, 则

【答案】由题

设设

为

的收敛点, 则对任意的

有

连续

且

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由满足定理的条件可知

故从而

由为

的收敛点可知, 对任意

存在N 1, 使得当存在N 2, 使得当

从而当所以

时,

有

在[a, b]上一致收敛.

时, 总有时, 对任意

有

在[a, b]上一致收敛于g （t ）, 故对上述的

二、解答题

7． 求曲面方程为

即

法线方程为

即 8． 设

【答案】因为

所以函数是连续的. 因为

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在点处的切平面方程和法线方程.

. 所以切平面

【答案】由于z 在（1, 1）处可微, 从而切平面存在. 因为

，讨论函数的连续性和可微性.