2017年海南师范大学小学数学课程与教学论之高等代数复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设Q.
【答案】由题设，
是A 的一个特征向量，于是
解得又由于
所以A 的特征值为
属于
的一个单位特征向量为
解得A 属于特征值5
的一个单位特征向量
取
正交矩阵Q 使得
为对角矩阵. 若Q 的第一列为
求a ，
则有
两两距离均为
令
2． 已知n 维欧氏空间V 中n+1个向量
则
（1）（2）【答案】（1）
线性无关.
（
2
）
设
有
用
与两端作内积，得
即为
若逐次用
与上式两端作内积，还可得
以上方程组只有惟一解
故
线性无关.
为三角矩阵的充分必要条件是A 的特征
3． 设A 是n 级实矩阵，证明：存在正交矩阵T 使多项式的根全是实的.
【答案】必要性. 设有正交矩阵T 使
为三角矩阵
其中
都是实数.
充分性. 用数学归纳法证明. 当n=l时结论显然成立. 假设结论对n —1级实矩阵成立.
如果n 级实矩阵的特征多项式的根全是实数：量
以
为第1列，作一个正交矩阵
则
是一个n-1级实矩阵，它的特征多项式的根是
存在正交矩阵
使
为三角矩阵. 令
则T 为正交矩阵，且
都是实数. 因此根据数学归纳假设，取一个根
求出相应的特征向
都是实数，而A
与
有相同的特征多项式.
它的根就是
为上三角矩阵.
4． 求
其中
【答案】设.
为A 的特征多项式，
则
令
由①式得
再令
. 由①得
再由①有
在③式中令
得b=0.于是
在④式中，令
得
将
代入②得
再由①式得
5． 设f （x ）是复系数一元多项式，对任意整数n 有f （n ）都是整数。证明:f （x ）的系数都是有理数。举例说明存在不是整系数的多项式，满足对任意整数n ，有f （n ）是整数。
【答案】设由于下证则有
（1）
，事实上，令
所以