2017年佳木斯大学学科教学(数学)之高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 求复数域上线性空间V 的线性变换
的特征值与特征向量，已知
在一组基下的矩阵为：
【答案】⑴
故A 的特征值为求特征向量. 对
相应的齐次线性方程组为
它的基础解系为（1，1）. 于是给定的基，
对特征值
取全体数值.
相应的方程组为
其基础解系为（2）当a=0时，当属于属于
时，特征值
的属于特征值一2的全部特征向量为的特征值为0，任何非零向量都是特征向量.
k 为任意非零复数. k 为任意非零复数.
其中
为不
取所有数值.
的属于特征值7的全部特征向量为
是V 的
的全部特征向量为的全部特征向量为
（3）特征值1=2及-2.
属于特征值2
的全部特征向量为全为零的任意数值.
属于特征值-2
的全部特征向量为（4）特征值属于特征值属于特征值（5）特征值为
属于特征值2的全部特征向量为
. 的全部特征向量为的全体特征向量为
为任意数. 为任意数.
取任意数值. 取任意数值.
取不全为零的全体数值.
取任意数值.
取任意数值.
. 取任意数值. 取任意数值.
取任意数值.
取任意数值.
属于特征值1的全体特征向量为属于特征值一1的全体特征向量为（6）特征值为0及属于属于
属于特征值0的全部特征向量为
的全部特征向量为的全部特征向量为
（7）特征值为
属于特征值1的全部特征向量为属于特征值-2的全部特征向量为
2． 把二次型
化为标准形，并求相应的线性变换和二次型的符号差. 【答案】
令
即作非退化线性变换
则所求标准形为
且f 的符号差=2-1=1.
3． 如果A 、B 都是n 级正定矩阵，证明：A+B也是正定矩阵.
【答案】因为A 、B 都是n 级正定矩阵，所以，对任意n 维非零实向量X , 都有
于是
又由A 、B 都是n 级实对称矩阵，知A+B也是实对称矩阵，所以A+B是正定矩阵.
4． 求一个次数最低的实系数多项式，使其被
【答案】解法1:由题设，显然所以可以验证，
确实是被
除余X+1的多项式.
使
于是应有设
则可设
即为所求.
试求
【答案】解法
是如下齐次线性方程组的解空间
解之得一个基础解系设
则
所以
其一个基础解系为：
所以
为其一组基.
除佘被除余则存在多项式
使
为求最小次数的
令取
即
解法2:同解法1，有多项式
是的倍式，
比较两边同次项系数得
所以
5． 若实4维向量空间V 的子空间
的一组基.