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一、分析计算题

1． 设T 是酉空间V 的一个线性变换，证明：下面四个命题互相等价.

（1）T 是酉变换； （2）T 是同构映射； （3）如果【答案】取令

是标准正交基，那么设T 是酉变换，即

为V 的一组标准正交基，且

为A 的列向量，由①有

所以

也是标准正交基

. 任取V 的一组标准正交基

令

其中为列向量，则

由⑤知B 为酉矩阵

.

取V 的一组标准正交基

由（4）知D 为酉矩阵，

令

，设

其中D. 为列向量. 则

由⑦知

为标准正交基.

0可逆. 故丁是V 到V 的双射

.

且

.

所以

由③，④，知

故

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也是标准正交基；

（4）T 在任一组标准正交基下的矩阵为酉矩阵

由（3）知

也是标准正交基，且

由于D 是酉矩阵，因此

综上所述丁是V 的同构映射

.

设T 是V 的同构映射，从而有①式成立，所以T 是酉变换.

2． 求三阶矩阵

的Jordan 标准型. 【答案】特征矩阵为

将其对角化可得

故A 的若当标准形为

3． 试求以

【答案】

设这时令

下证f （x ）在

上不可约. 由于f （x ）如果有有理根，必为±1，但±1都不是f （x ）的根.

上分解为两个二次式之积，即

其中

比较①式两边系数得

由⑤知时，

得

所以在

也不可能.

因此上不可约，即为所求.

不可能分解为两个二次式之积. 综上可知

或b=d=—1. 当b=d=l时，由②得

再由③得

即

矛盾. 当

故f （x ）不可能分解为一个一次式与一个三次式之积. 其次，如果f （x ）在Q （x ）上分解为两个二次式之积，那么必可在

为根的有理系数的不可约多项式.

且以

为根，

则根式

也一定是f （x ）的根.

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4． 设V 是数域P 上3维线性空间，线性变换在V 的基

下矩阵为

问，可否在V 的某组基下矩阵为

为什么？

【答案】设A 的特征矩阵为

I 的特征矩阵为

则

所以A 的不变因子为

所以8的行列式因子为

故

与

有不同的不变因子，从而不等价，即A 与B 不相似，因此，在任一组基

下的矩阵都不可能为

5． 对任意非负整数n ，令

【答案】因为多项式且

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证明

的两个根是3次单位虚根