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一、分析计算题

1． 试就实数域和复数域两种情况，求

【答案】令

于是

其中

（1）由式（1-42）知f （x ）在复数域中的标准分解式为

（2）

在实数域中注意到

于是当n 为偶数时其标准分解式为

当n 为奇数时其标准分解式为

2． 证明：①若A 为n 阶实对称矩阵，则

【答案】①设且

为实对称的.

是正定矩阵；

）均为实数，

的标准分解式.

②若A , B为实对称矩阵，则A-B ，B-A 为半正定

的特征根为

由于A 为实对称的，故其特征根（设为

故

为正定矩阵.

d 淹分性显然，下证必要性.

设A-B 半正定，则显然B-A 半负定. 又因为B-A 半正定，故对任意实n 元列向量X 有

从而

因此，A=B.

3． 设A ，B ，C ，D 都是n 阶方阵，并且AC=CA，试证明：

【答案】（1）当A 可逆时，有

对①式两边取行列式得

（2）当A 不可逆时，（即即有

那么由AC=CA, 有

再由上面（1）有

所以②式两端都是关于A 的有限次多项式, 且有无穷多个A 使上式成立，从而②式是A 的恒等式. 再

, 代入②得

4． 下列n 阶方阵可否对角化？若可对角化，求可逆方阵P 使

【答案】易知或-1.

①若而令

则易知

且

有基础解系：

有基础解系：

则P 可逆且

②

则易知

且

有基础解系：

而令

有基础解系：

则P 可逆且

从而可知A 的最小多项式为

无重根，A 可对角化且其特征根为1

为对角矩阵：

由于A 至多有n 个不同特征值，从而存在

使

.

5． 设A 是矩阵，如果对任一 n 维向量 都有

都有那么

它们都是

即

的解，因而是基础解

中的未知数也是n , 故秩

求如下行列式

.

【答案】取n 维向量空间中n 个单位向量系. 它有n 个向量，

6． 设

【答案】易知

7． m ，p ，q 适合什么条件时，有

（1）（2）

【答案】（1）

因为

的充要条件是

（2）

的充要条件是有

使

比较次数及首项系数，常数项，可设

代入，展开，得

由此得

被

除所得的余式

为

即

所

以

的充要条件是或