当前位置：问答库＞考研试题

一、分析计算题

1． 决定排列

【答案】下面讨论

①当n=2k为偶数时

其中

即

时即，

②当

为奇数时

其中

即即

当当

2． 设

【答案】设

证法I 由上知但因为

又因为

故

故（可令

首系数是1，故

下再证

因为

故

即（24）式成立. 的公因式，且存在多项式

又因

故由互素性质知

与

从而存在多项式u , v使

的任何公因式都是

：的因式. 因此，

是

使

证法II 由（25）知：

其中

首系数是1）. 从而

时，时时，排列，时，排列

证明：

为奇数，因此为偶数. 为奇数.

是偶排列， 是奇排列

的奇偶与k 一致

.

时，

为偶数

.

为奇数. 为奇数. 因此

的奇偶与k 一致

.

的奇偶性.

的逆序数，并讨论它的奇偶性.

根据以上讨论，得到下述结论：

（26）与（27）式两边相乘后可知，与

的最大公因式，即（24）式成立.

3． 设

为全部n 次单位根，证明：

个乘积之和为零.

【答案】①因为

故②当当

时，由

可得

从而

代入即得.

时，令为n 次原根且

且

则

但此时故③

由

从而由（1）即得证.

及根与系数的关系即知，

根

个乘积之和为零.

4． 设A ，B 均为n 阶矩阵，时为对角阵.

【答案】由故

这里使

其中 5． 证明:

【答案】设①式左端为

先加边，则

. 令

则

同时为对角阵.

分别是

阶方阵. 由

则

故存在可逆矩阵

则存在可逆矩阵P , 使

这里

由

求证：存在可逆矩阵G ，使

同中所

有

6． 设V 是n 维欧几里得空间，

（1）对于短个给定的（2）映射【答案】（1）

所以是V 上的线性函数，即

（2）所以故

类似可得若于是

则

故f 是单射. 注意到V 和

都是R 上的n 维线性空间，则f 是双射，故f 是V 到

的同构映射。

7． 写出把排列12435变成排列25341的那些对换.

【答案】

8． 求

有

因为

映射

因为

为其内积，为其对偶空间. 证明： 是中的一个元素.

是rt 维线性空间V 到：的同构映射.

这里是对所有n 级排列求和.