2017年河南科技学院高等代数(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 设a 为一复数，且是数域F 上非零多项式
【答案】在W 中存在多项式
在数域F 上不可约. 答:显然
即可.
这里可. 2．
【答案】
不可约，
则至少有一个
以a 为根. 取
即
如g （x ）不可约，取
使得对任一
的根，令
都有
且
如g （x ）可约，令其在F 上的标准分解式为
，试确定P 的值，使f （x ）有重根，并求其根。
且
，则
（1）当p=4时，有
所以x+2是f （x ）的三重因式，即（2）若
则继续辗转相除，即
，这时f （x ）的三个根为-2，-2，-2。
当p=-5时，有
2
即x-1是f （x ）的二重因式，再用（x-1）除f （x ）得商式x+8.故
这时f （x ）的三个根为1, 1，-8.
3． 设A ，B 为n 阶方阵. 证明：若A+B=AB，则
①AB=BA； ②r （A ）=r（B ）.
【答案】①因A+B=AB，故（A-E ）（B-E ）=E.从而（B-E ）（A-E ）=E.由此得A+B=BA.故AB=BA.
证法I 因为A+B=AB，故A=（A-E ）B ，B=A（B-E ）且
所以r （A ）=r（B ）.
证法II 利用分块矩阵初等变换.
由
故
r （A ，B ）=r（B ）.
同理，r （A ，B ）=r（A ）. 因此，r （A ）=r（B ）.
4． 设
得
但
是
其中求的伴随矩阵的若当标准形.
【答案】当c=0时，
显见
且
的特征值均为0, 所以
的若当标准形为
当时
所以
5． 设B 是实数域上n ×n 矩阵，了
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
由于
所以
对任一大于0的常数n ，证明
定义
的一个内积，使得成为欧氏空间. 其中表示列向量的转置，E 表示n ×n 单位矩阵.
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