2017年北华大学林学院629数理统计(含概率论)考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 对任意的事件A ，B ，C ，证明：
（1）（2）【答案】⑴
（2）因为
所以
2． 设随机变量
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即
时,
的密度函数为
即（2）因为以
由此得
所以（X , Y ）的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
, 所以
又因为
所
时,
和
则
的密度函数为
则
所以
当
与
相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:
是相互独立的标准正态随机变量.
3． 证明：对正态分布若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在似然估计不存在.
4． [1]设随机变量
[2]
设
【答案】利用变换
时趋于
这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而
的最大
，求
，证明：
及偶函数性质可得
[2]在题[1]中令即可得结论.
5． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明
：
【答案】
6． 证明下列事件的运算公式：
（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有
7． [1]如果
试证: （1）（2）[2]如果
【答案】（1
）因为
时
所以
是直线上的连续函数, 试证:
,
,
故当
有
即
（2）先证
明
成立, 进一步由
. 对任意
的
可得所以又有
取M 足够大（譬
如
时, 有
成立. ）, 使
有
成立, 对取定的M , 存在N , 当
这时有
从而有
由即[2]若对任意的
的任意性知
成立.
是m 次多项式函数, 即
取M 充分大,
使有于是有
对取定的M ,
因为
是连续函数,
所以可以用多项式函数去逼近
, 使得
当
所以存在
因为
并且在任意有限区
时,
有使当
间上还可以是一致的, 因而存在m 次多项
式
对取定的m 次多项式
时, 有
当又因为
且
所以
从而有
同理可证由上面（1）得
则由题[1]知有
,
又选取
下证一般情况,
充分大,
使当
时,
有
又因为
时, 有