2017年重庆师范大学数学学院829高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
2． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当
时，
由AB=0, 用
使AB=0, 则（ ）
.
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
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可得矛盾，从而否定A ，故选
C.
3． 设
其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 4． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
由②有
为空间的两组基，且
=（ ）.
二、分析计算题
6． 设
其中
求交【答案】设当且仅当
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的一基和维数.
为列向量的4x5矩阵. 由于
即
亦即AX=0，其中对A 施行初等行变换可得
由B 可知，A 秩=4，且但由BX=0可知，其一般解为（7 ）得
故
是
为一维空间，且
为其一基
.
却
AX=0的解必是5元向量，而的一基，但并非AX=0的基础解系（实际上，
同解.
是自由未知量. 从而由
是4元向量）.
7． 设K ，F , E都是数域，满足空间E 是有限维的.
【答案】设
是K 上线性空间E 的基. 事实上，
由
.
则在通常的运算下，F 和E 都是K 上的线性空间. 假定
作为K 上的线性空间F 是有限维的，作为F 上的线性空间E 是有限维的，求证作为K 上的线性
它们的基分别是
是线性空间
的基，可设
由于是
故（6-11）是设
由
是线性空间FE 的基，
则
的基，
是
的基，
故
于是
的生成元. 是线性空间
的基，可设
下面证明
（6-11）线性无关.
综上所述，（6-11）是线性空间
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