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一、证明题

1． 若事件A 与B 互不相容，且

证明：

【答案】

2． 设不是有效估计.

【答案】设

是0的任一无偏估计，则

即

将（*）式两端对求导，并注意到

有

这说明

由此可以得到则

从而，进一步，

不等式的下界.

3． 设A ，B 为任意两个事件，且

【答案】

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求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它

我们将（**）式的两端再对H 求导，得

记

为的UMVUE.

C-R 下界为

故此UMVUE 的方差达不到C-R

则成立.

4 设T 是g ，（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若．

【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE

，即

即

5． 设

【答案】因为离散场合,

当

时, g （y ）以概率

. 取

由于在Y 取固定值时,

上式对Y 的任一取值都成立, 即

. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般

场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.

6． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.

【答案】因为

所以由单调性知

从而得

又因为

所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.

7． 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是

分布

的特征函数, 由唯一性定理知

8． 证明下列事件的运算公式：

（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有

所以

, 且X 与Y 独立,

则

也是常数, 故有

且

存在, 试证:

是随机变量Y 的函数, 记

, 它仍是随机变量. 在

的无偏估计，故其差

由判断准则知

，则这说明

是0的无偏估计，

二、计算题

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9． —盒晶体管中有8只合格品、2只不合格品. 从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出合格品的概率.

【答案】记事件

为“第i 次取出合格品”，i=l，2. 用全概率公式

10．在安眠药试验中已求得四个样本方差：

请用Hartley 检验在显著性水平

下考察四个总体方差是否彼此相等.

【答案】这是关于方差齐性的检验问题，此处，r=4，m=6，由已知数据计算统计量H 的值为

当

时，

查表知

故拒绝域为

由于

从而接受原

假设即认为四个总体方差间无显著差异.

11．设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x+y=l所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与这区域的面积成正比，试求此质点还满足y<2x的概率是多少？

【答案】由题设知这个概率可由几何方法确定，为此将样本空间用图表出，图中阴影部分为事件A ，由图2知

和事件A“此质点满足y<2x”

由此得

和A 的度量分别为：

图

12．某班级学生中数学成绩不及格的比率X 服从a=l，b=4的贝塔分布，试求

【答案】贝塔分布Be （1，4）的密度函数为

且由

知

13．设离散随机变量X 服从巴斯卡分布

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