2017年重庆师范大学数学学院829高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
故选B.
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
5． 设向量组
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为
所以向量组
线性无关.
线性无关.
二、分析计算题
6． 设
是n 个互不相同的整数，证明
在
内不可约.
它在
中不可约等价于它在
【答案】中不能分解为两个较低次数的多项
式的乘积. 用反证法.
设
故
同为1或一
1.
显然没有实根，故内不变号. 于是对一切
若
因
而它们的次数
都为而有
得到矛盾. 若故
7． 设
不能有如上的分解，因此在
同样能导出矛盾. 中也不可约.
是
的对偶基，令
但故
又
的首项系数
故
则
也没有实根.
由数学分析知道函数
都等于1或都等于-1.
与
此
时
在区间
都有n 个不同的
根
的首项皆为1. 于是
皆为整系数及
是数域P 上线性空间V 的一组基，
是V 的基； 的对偶基，并用
表示
（1）证明：（2）求【答案】（1）设
的对偶基.
则（2）设
于是 8．
的对偶基为
矩阵A 的秩为r ，则有【答案】A 的秩为r ，有
的列满秩矩阵P 和可逆阵及
可逆阵
的行满秩矩阵Q ，使使
由
是
的对偶基，由
是V 的基，故也是V 的基. 则