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一、证明题

1． 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:

（1）（2）（3）

【答案】（1）由（2）因为（3）

2． 设

是来自

的样本，α＞0已知，试证明，

是

于是

所以λ的费希尔信息量为

这就是说

的任一无偏估计的C-R 下界为

又

这就证明了

是

的有效估计，从而也是UMVUE.

3． 证明下列事件的运算公式：

（1）（2）【答案】⑴（2）利用（1）有

所以

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知

又由（1）知

所以有

的有效估计，

从而也是UMVUE.

【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为

4． 设总体X 的密度函数为：

为抽自此总体的简单随机样本.

（1）证明：【答案】（1）令

即

的分布与无关，并求出此分布.

的置信区间.

则

的分布与无关，其密度函数为

由于从而求得

5． 设

【答案】若

在

上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为, 证明:

的置信区间为

（2）取c , d 使得

的密度函数为

（2）求的置信水平为

服从贝塔分布, 并指出其参数.

, 则X 的密度函数为

由

在上是严格单调增函数, 其反函数

为

Z 的密度函数为

整理得

这说明Z 服从贝塔分布

6． 设分布函数列敛于分布函数F （x ）.

【答案】

对任意的点

:

则有

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, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.

在

当

再令

上一致收

时,

有

,

弱收敛于连续的分布函数F （x ）, 试证:

取M 充分大,

使有当

使有

时,

有

对上述取定的M , 因为F （x ）在闭区间[-M, M]上一致连续, 故可取它的k 个分

（1）

这时存在N , 使得当n>N时, 有

对任意的当

时, 有

由（1）, （3）式可得

即有

, 结论得证.

,

样本方差分别为

7． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为

, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

由

得

8． 设随机变量

相互独立, 且

试证:

【答案】而事件

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必存在某个i , 使得由（2）式知,

证明:

的联合密度为