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一、选择题

1． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使.

C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 2． 设

其中

则PAQ=B

则3条直线

①

（其中A. B. C. 秩D.

线性相关，

【答案】D 【解析】令其中

秩由秩从而可由

3． 设A 为常数，则

A. B. C.

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D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B

）交于一点的充要条件是（ ）

线性相关 线性无关

线性无关 则方程组①可改写为

②

则3条直线交于一点

. ，可知

线性无关，由秩

可知1

线性相关，即

可由

线性表出，

线性表出. 矩阵，

线性相关，故选D. 是非齐次线性方程组

的3个线性无关的解，

为任意

方程组①有惟一解

方程组②有惟一解

的通解为（ ）.

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D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.

考虑到

是. （否则与

是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组

有解矛盾），所以

的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.

从而

是

的一个

的一个特解，所以选C.

4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

A. B.

C.

不一定是线性变换，比如不是惟一的.

5． 设

又

②

③

与

为空间的两组基, 且

① . 则

也不是线性变换，比如给

,

【答案】C 【解析】而

则（

）.

A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令

将①代入④得

由②有

④

即

故.

二、分析计算题

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6． 设A 为

（n

【答案】

由

的奇数）阶实方阵, 若A 的每一个元素

得

于是

则

等于它自己的代数余子式, 且至少有一

个代数余子式非零, 求证1是A 的特征值.

（1

）

或

两边取行列式得1.

若于是

则

注意到A 为奇数阶实方阵, 故

矛盾, 故

由式（1）得

由卵为奇数, 则

7． 设实数域上的矩阵

（1）求A 的特征多项式（2）

故1是A 的特征值.

是否为实数域上不可约多项式；

（3）求A 的最小多项式, 要求写出理由. 【答案】 （1）

（2）所以

为实数域R 上3次多项式, 因实数域上只有一次和判别式

中, 子式

所以因此

8． 下列n 阶方阵可否对角化？若可对角化, 求可逆方阵P 使

【答案】易知-1.

①若

则易知

且.

有基础解系:

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的二次多项式不可约,

在实数域上可约. （3）在A 的特征矩阵

此即为A 的最小多项式.

为对角矩阵:

从而可知A 的最小多项式为无重根, A 可对角化且其特征根为1或