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一、选择题

1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

A. B.

C.

不一定是线性变换，比如不是惟一的.

2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似

【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B

的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.

3． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果

的伴随矩阵为（ ）.

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设

可逆，由于

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【答案】C 【解析】而

. 则

也不是线性变换，比如给

,

则A 与B （ ）.

则分块矩阵

且

所以

4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B , 则有（ ）.

A. 交换A 的第1列与第2列得B B. 交换A 的第1行与第2行得B

C. 交换A *

的第1列与第2

列得- B* D. 交换A

*的第1行与第2行得- B

* 【答案】C

【解析】解法

1:题设

又

所以有

即题设因此

即

5． 若

则

A.m+n

B.-（m+n） C.n-m D.m-n

【答案】C

都是4维列向量，且4阶行列式=（ ）.

右乘初等阵

所以

得

解法2

所以有

*

*

*

*

与分别为A , B 的伴随矩阵，

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

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二、分析计算题

6． 设n 阶方阵A 的全部特征值证

（

1）当A 可逆时, （2）当A 不可逆时

,

【答案】

（1）由

A 可逆

, 则其特征值所以

则记

则个特征值当

因为

所以

7

． 已知二次型

，

（1）求a 的值. （2）求正交变换（3）求方程【答案】 （1）

将

的解. 的矩阵

由

则

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相应的特征向量为

并求出

全不为0,

因为

的特征值为求

且

相应的特征向量.

记

则结论成立.

则

的特征值0的重数

记

. 若不妨设

故所有非零n 维列向量都是其特征向量. 若

（2）当A 不可逆时,

线性无关, 因为

0的几何重数为

又

则

故第n

是

是不全为0的数.

0的线性无关的特征向量, 故0的所有特征向量为

的特征向量是是非零数, 且0的特征向量是式 .

的秩为2.

化为标准形.