2018年辽宁师范大学数学学院数学系820高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 在数域K 上的4维向量空间
内, 给定向量组
（1）判断此向量组是否线性相关； （2）求此向量组的秩； （3）求此向量组生成的维数和一组基. 【答案】（1）（2）由于秩
（3）
2． 设A 是
矩阵，如果对任一n 维向量
. 且
为此生成子空间的一组基.
线性相关.
的对应分量不成比例, 因而
线性无关. 又
可由
线性表出, 故
的子空间
都有
【答案】取n 维向量空间中n 个单位向量系.
它有n 个向量，
3． 设有分块阵（1）（2）
【答案】（1）
两边取行列式，即证
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它们都是的解，因而是基础解
中的未知数也是n ，故
秩
即
其中A , D可逆，证明：
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（2）
即
4． 设f （X , Y ）为定义在数域P 上的n
维线性空间V 上的一个双线性函数, 证明:
可以表示成两个线性函数
积的充分必要条件是f
（X , Y
）的度量矩阵A 的:
【答案】设
在基
下的度量矩阵为
.
则A 可以分解成行矩阵与列矩阵之积, 设
则
故线性函数
为所求.
若
则
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则X , Y的任意性, 知
是f 的度量矩阵, 故 5． 设
其中【答案】将
是五维欧氏空间V 的一组标准正交基，
，求
正交化得
的一组标准正交基.
，
再单位化，即得的一组标准正交基:
6． 设 【答案】
A ，B 分别为
与矩阵. 则
但
7． 设
为数域K 上全体n 阶方阵作成的
维线性空间, 又
的对角方阵时, C （A ）是几
的充要条件为何？
则
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①证明:中与A 可交换的全体方阵作成子空间（这个子空间记为C （A ））.
②问:当A 是主对角线上元素为维的？并给出其一基, 又问:
【答案】①C （A ）显然非空, 又若