2017年华北理工大学生命科学学院905概率论和数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，
在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？
（1）（2）（3）
【答案】先求三个统计量的数学期望，
这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为
不难看出
由此可推测。当用样本的凸组合
2． 设
【答案】若
, 证明:
从而
的有效性最差.
则
估计总体均值时，样本均值是最有效的。 服从贝塔分布, 并指出其参数.
, 则X 的密度函数为
由
在上是严格单调增函数, 其反函数
为
Z 的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
3． 若事件A 与B 互不相容，且
, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
证明：
【答案】
4． 设随机向量（X , Y ）满足
证明:【答案】由所以
5． 设随机变量X 服从参数为p 的几何分布，试证明
：
【答案】
6． 设二维随机变量
服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为
是来自该总体的样本, 证明:
二维统计量
该二元正态分布族的充分统计量.
【答案】该二元正态分布的密度函数为
此处,
故
从而
注意到
上式可化解为
于是样本的联合密度函数为
由因子分解定理知, 结论成立.
7． 设
则
为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.
的方差一致有界, 即存在常数c 使得
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
8． 设
为来自
服从大数定律.
未知. 证明关于假设
是
的i.i.d 样本，其中
）.
样本的联合密度函数为
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
【答案】记
两个参数空间分别为
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