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一、计算题

1． 随机选取9发炮弹，测得炮弹的炮口速度的样本标准差s=11m/s, 若炮弹的炮口速度服从正态分布，求其标准差的0.95置信上限.

【答案】在正态分布下，对样本方差有

故标准差的

置信上限为

现

查表知

故标准差的0.95置信上限为

2． 已知

【答案】

3． 设

为独立同分布的随机变量序列, 其共同的分布函数为

试问:辛钦大数定律对此随机变量序列是否适用？

【答案】此为柯西分布的分布函数, 而柯西分布的数学期望不存在, 因为辛钦大数定律要求数学期望存在, 所以辛钦大数定律对此随机变量序列不适用.

4． 计算机在进行加法运算时对每个加数取整数（取最为接近于它的整数）, 设所有的取整误差是相互独立的, 且它们都服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布.

（1）若将1500个数相加, 求误差总和的绝对值超过15的概率；

（2）最多几个数加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于90%. 【答案】记为第i 个加数的取整误差, 则

（1）由

且

得所求概率为

（2）由题意可列出概率不等式

利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可改写为

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，从而有等价地

，

查表得

由此得

这表明:至多443个数相加, 才能使它们的误差总和的绝对值小于10的概率

不小于90%.

5． 为研宄某型号汽车轮胎的磨耗，随机选择16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止，记录所行驶路程（单位：km ）如下：

未知，求的置信水平为0.95的单侧置信下

s=1346.84, 利用未知场合的的单

代入可得

6 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为一2和2, 方差分别为1和4, 而它们的相关系数为一0.5. ．

试根据切比雪夫不等式, 估计

【答案】因为

所以

7．

设

是来自

的样本, 试给出一个充分统计量.

的上限.

假设这些数据来自正态总体限.

，其中

【答案】先计算样本均值与样本标准差s ，侧置信下限

，这里n=16,

【答案】样本的联合密度函数为

令

,

取

, 由因子分解定理

,

的几何平均

为的充分统计量. 另

或其对数

都是的充

外, T 的一一变换得到的统计量,

如

分统计量.

8． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布

试求X 的特征函数. 【答案】设由上一题知

其中

是相互独立同分布的随机变量, 且都服从参数为p 的几何分布

所以X 的特征函数为

, 则

的特征函数为

又因为

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9． 求下列分布函数的特征函数, 并由特征函数求其数学期望和方差.

（1）（2）

【答案】（1

）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为

又因为

所以

（2）因为此分布的密度函数为所以此分布的特征函数为又因为当t>0时, 有

所以当而当又因为

时, 有时, 有

所以

在t=0处不可导, 故此分布（柯西分布）的数学期望不存在.

10．口袋中有10个球，分别标有号码1到10, 现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：

（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率.

【答案】从10个球中任取4个，共有10分成三组：

种等可能取法，这是分母，而分子有两种解法.

解法一 记A=“最小号码为5”，B=“最大号码为5”.为求事件A 与B 的概率，可将球号1到

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