2017年华北理工大学生命科学学院905概率论和数理统计考研导师圈点必考题汇编
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2017年华北理工大学生命科学学院905概率论和数理统计考研导师圈点必考题汇编（一）.... 2 2017年华北理工大学生命科学学院905概率论和数理统计考研导师圈点必考题汇编（二）.. 10 2017年华北理工大学生命科学学院905概率论和数理统计考研导师圈点必考题汇编（三）.. 19 2017年华北理工大学生命科学学院905概率论和数理统计考研导师圈点必考题汇编（四）.. 26 2017年华北理工大学生命科学学院905概率论和数理统计考研导师圈点必考题汇编（五）.. 35
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一、证明题
1． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且
证明:对任意正常数a , b 有
【答案】记
则
由条件知p<0, 所以
由此得
令
则
所以
其中
又由
知
这就完成不等式的证明.
2． 设总体X 的密度函数为：
为抽自此总体的简单随机样本.
（1）证明：【答案】（1）令
即
的分布与无关，并求出此分布.
的置信区间.
则
的分布与无关，其密度函数为
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（2）求的置信水平为
的密度函数为
（2）取c , d 使得
由于从而求得
3． 设
在
上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为是来自泊松分布
的置信区间为
的一个样本.
（1）利用泊松分布的充分统计量对如下检验问题
在显著性水平为时给出其拒绝域；
（2）证明（1）中的拒绝域也是如下检验问题
的显著性水平为的显著性检验的拒绝域；
（3）在样本量n 较大时，利用中心极限定理给出近似的拒绝域. 【答案】（1
）泊松分布
的充分统计量是，
它是的无偏估计.
若原假设
成立，
则不应该很大，因此，当较大时，就应该拒绝原假设
所以此检验的拒绝域应有如下形式
其中c 应由给定的显著性水平确定，即c 由下列概率不等式确定
或
由于原假设成立下
则由
可得
不是一件易事.
（2）若将上述拒绝域作为（2）检验问题的拒绝域，我们只需要证明该检验的势函数是单调增的即可说明它也是（2）的显著性水平为a 的显著性检验. 此处该检验的势函数为
其中m 为如下整数
考察
的单调性，为此求其导数
所以势函数
是的严格増函数. 由此可知，在原假设
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故
若令泊松分布
的
分位数为这里
的寻求还
所以在给定理时，
该检验的拒绝域为
上
在处达到最
大.
（3）当样本量n 较大时，由中心极限定理可得原假设成立时
对给定的显著性水平有
即拒绝域W 中的临界
值
即当n=10时，若
4． 设总体
【答案】由于总体均方误差为
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差. 5． 设
是来自泊松分布
的样本, 证明
是充分统计量.
有
则应拒绝原假设
譬如
，
，n=10
和
时，
有
的渐近分布
是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
下存在优于的估计. 现考虑形如
的估计类，其
所以
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的
该条件分布与无关, 因而
是充分统计量.
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