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一、证明题

1． 证明:若数列

（1）（2）

【答案】（1）因为时,

于是

由此得, 当n>N时, 由（2）因为

在正整数N , 使得当n>N时,

知

是无穷大数列, 所以

, 设r 是一个满足不等式

于是, 当n>N时,

因为r>1, 所以

是无穷大数列. 因此,

, 证明:

.

（*）

（1）在（*）式中令

在[a, b]上两边对x 求定积分, 得

故有

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满足下列条件之一, 则

是无穷大数列:

, 令, 所以对于, 存在正整数N , 使得当n>N

也是无穷大数列.

的实数, 由数列极限的保号性知, 存

是无穷大数列, 即是无穷大数列.

2． 设f （x ）在[a, b]上二阶可导, 且

（1）（2）又若【答案】由

,

, 则又有

知f （x ）为凸函数, 所以根据定理, 对[a, b]上任意两点x , t 有

, 得

（2）（*）式两边在[a, b]上对t 定积分, 得

从而对任意的

, 有

由即

3． 分别用确界原理及区间套定理证明:若f （x ）在[0, 1]上单调递增, 且f （0）>0, f （1）<1,

则记间套

,

若在分点处有g （x ）=0, 则结论成立, 否则g （x ）在每个区间由区间套定理, 存在唯一的

, 往证

则f

的端点处函数值异号,

, 使得, 则

.

, 则S 是非空有界数集.

, 则g （0）<0, g （1）>0.利用二等分法构造区

,

往证

（反证法）.

【答案】（1）利用确界原理证明:构造数集, （2）利用区间套定理证明:

设

, 可得

. 故有

4． 设f （X ，y ）可微，I1与l2是R2上的一组线性无关向量，试证明:若（x , y ）三常数.

【答案】由已知

为的方向余弦，

①

②

为的方向余弦，又因为I 1与l 2线性无关，所以

于是由①、②可得，故f （X ，y ）=常数.

5． 设f , g 为D 上的非负有界函数. 证明:

（1）（2）

【答案】（1）对任意

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于是

所以

（2

）对任意

于是

所以

6

．

设

并求J （2m

, 2n ）.

【答案】

移项解得

. 同理

移项解得

由上述结论可得

第

4 页，

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（m , n 为正整数）

, 证明

:

9