2018年河南大学数学与统计学院629基础课(数学分析)之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1．
老
推得进而
收敛吗？ 【答案】
由
收敛. 若仅知道则
收敛, 未必有
收敛. 如
且
收敛,
但
发散.
设
又因为
, 因此.
即是E 的一个聚点,
所以
又因为
2． 设是集合E 的全体聚点所成的点集
,
【答案】因为
是
的一个聚点, 所以
可得
又因为级数
绝对收敛,
故级数
丨收敛,
且级数
绝对收敛, 证明级数
也收敛.
若上述条件中只知道
收敛, 能
是的一个聚点. 试证:
自
是集合E 的全体聚点所成的点集, 因此是E 的一个聚点. 所以
3． 设a , b , A是均不为零的有限数, 证明
【答案】因为
的充分必要条件是
:
当
时
先证必要性. 由所以
（当
且
再证充分性. 因为
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故
时）,
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故
因此有
所以
4． 设函数f 在（a , b）上连续, 且
（1）f 在（a , b ）内有界；
（2）若存在【答案】（1）令
因为f 在（a , b ）连续, 所以F （x ）在[a, b]连续. 因此F （x ）在[a, b]上有界, 所以F （x ）在（a , b ）上亦有界, 即f 在（a , b）上有界.
（2）因为F （x ）在[a, b]上连续, 所以F （x ）在[a, b]上能取到最大值. 又因为
, 使
, 即
. 所以F （x ）在
[a, b]上的最大值可以在（a , b ）内取得, 即f （x ）在（a , b ）内能取到最大值.
（3）由（1）知F （x ）在[a, b]上连续, 所以F （x ）在[a, b]上一致连续. 显然f （x ）在（a , b ）上一致连续.
, 使得
, 则f 在（a , b ）内能取到最大值；
（3）f 在（a , b ）上一致连续.
与
为有限值. 证明:
二、解答题
5． 设f （x , y
）为定义在平面曲线弧段
（1）试证明
是否成立? 为什么?
使
这里
为
的弧长, 又f （x , y ）在
上恒大于零, 则
（2）不一定成立, 如取
=1, 则为从A （0, 0）到B （0, 1）的直线段, 取f （x , y ）
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上的非负连续函数, 且在上恒大于零.
（2）试问在相同的条件下, 第二型曲线积分【答案】（1）由题意知, 存在点
, 所以由①知
.
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6． 试证函数系cosnx （n=0, 1, 2, …）和sinnx （n=l, 2, …）都是合起来的不是
上的正交函数系.
【答案】对于函数系cosnx ; （n=0, 1, 2, …）, 因为
上的正交函数系, 但它们
又n=0时, cosnx=l
,
时,
所以, 在三角系cosnx （n=0, 1, 2, …）中, 任何两个不相同的函数的乘积在等于零, 而任何一个函数的平方在
上的正交函数系.
对于sinnx （n=l, 2, …）, 因为m ≠n 知时,
所以函数系sinnx （n=l, 2, …）也是
上的正交函数系.
所以该函数系不是
对于函数系1, cosx , sinx , cos2x , sin2x , …, cosnx , sinnx , …, 因为
上的正交函数式.
7． 求由下列方程所确定的隐函数的导数.
（1）（2）（3）
⑷（5）（6）
求
, 求
求,
求
,
求
求
上的积分都
上的积分均不为零, 所以函数系cosnx （n=0, 1, 2,
…）为
【答案】（1）方程两边对x 求导, 则
所以
（2）方程两边对x 求导数, 则
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