2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研仿真模拟五套题
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2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研仿真模拟五套题（一）.... 2 2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研仿真模拟五套题（二）.... 7 2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研仿真模拟五套题（三）.. 11 2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研仿真模拟五套题（四）.. 16 2018年河南大学计算机与信息工程学院602微积分之数学分析考研仿真模拟五套题（五）.. 20
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一、证明题
1． 用有限覆盖定理证明聚点定理.
【答案】设有界无限点集中每一点均不是S 的聚点, 则
, 则H 为
有限个邻域
由于
为有限点集
, 使得
所以由上式知S 为有限点集, 与假设矛盾. 故S
在[-M, M]中至少有一个聚点.
2
2． 设f :是连续映射, 若对R 中的任何有界闭集K ,
【答案】任取点列
2
2
. 显然若S 有聚点, 则必含于
, 使得
中. 假设
为有限点集. 记
的一个开覆盖, 由有限覆盖定理知, 存在H 中
均有界. 证明:
2
是闭集.
. 记
, 并设, 欲证f （R ）是闭集, 只需证明
, 使得,
即可. 事实上, 由f 是R 到R2的映射知, 对每一个Q n , 相应地存在
显然它是有界闭集.
由
由已知条件, 收敛子列
再由
满足
及f 的连续性, 令|可知
,
.
, 当
n>N
时
,
, 相应
地
存在.
是有界集, 所以
. , 可得
是有界点列. 由致密性定理
,
. 注意到
, 故
3． 利用单调有界原理证明确界原理.
【答案】设S 是非空有上界的数集, M 是S 的一个上界. 若S 有最大值, 则最大值即为S 的上确界. 若S 无
最大值, 任取. 记左半区间为
. 数列
, 将.
然后将单调递增,
,
首先,
有
二等分, 若右半区间含有S 的点, 则记右半区间为二等分,
用同样的方法选记单调递减, 且
,
使得
, 否则
, 如此下去,
得一区间套
中含有S 的点, 在b n 的右侧不含S 的点. 由{an }单调递增有上界, 所以存在
, 往证为S 的上确界.
. 若不然, 则存在
, 使得
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. 因为所以存在正整数N , 使得
, 于是在b n 的右侧含有S 中的点, 矛盾, 故是S 的上界. 其次, 分大时有 4． 设
, 于是存在
, 使得, 证明:
【答案】由拉格朗日中值定理知,
, 使得
, 即为S 的上确界.
, 由知, 当n 充
因为上式右端大于0, 所以f （b ）-f （a ）>0 下面只需证明:令因为当
时
,
, 则
.
, 显然x=2是g （x ）在
当l , , 从而原不等式成立. 上的唯一驻点. 所以x=2是g （x ）的最大值点. 于是 二、解答题 5． 设f 为区间, 上严格凸函数. 证明:若格凸函数知, 对任意 总有 因此, 对于任意 的 6． 计算下列积分: （1）（2）（3）（4）【答案】 ⑴ （2） （3）积分区域V 如图1 第 3 页，共 24 页 为f 的极小值点, 则x 0为在I 上惟一的极小值点. , 不妨设 , 由f 是I 上的严 【答案】反证法. 若f 有异于x 0的另一极小值点 , 只 要充分接近0, 总 有但 是 , 这与是f 的极小值点矛盾. 故x 0是f 在I 上的惟一极小值点. 其中其中 其中V 是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域; 其中V 是由 y=0, z=0及 所围成的区域. 专注考研专业课13 年，提供海量考研优质文档！ 图 1 （4）积分区域V 如图2 图2 7． 求下列数集的上、下确界, 并依定义加以验证: （1）（2） （3 ）（ 4） 【答案】（1）确界. 显然有是集合S 的一个上界. 对任意的 , 则 即（2） 且 . 因此, 是S 的上确界. 的上、下确界分别为 和1. 1是S 的一个下界, 并且 取 不妨设 取 S 的上、下确界分别为 . 这里只证明是上 任何大于1的数都不是S 的下界, 所以1是S 的最大下界, 即1是S 的下确界. 对任意的 第 4 页，共 24 页